Tsawke 的十二月模拟赛

Tsawke 的十二月模拟赛

题目名称	God does not play dice with the universe	真正的OIer从不女装	简单数据结构	什么？？？NP问题？？？
题目类型	传统题	传统题	传统题	传统题
题目目录	lets_play_dice	dress_up	dote___strvct	np_graph_isomorphism
源程序文件名	lets_play_dice.cpp	dress_up	dote___strvct	np_graph_isomorphism
输入文件名	lets_play_dice.in	dress_up.in	dote___strvct.in	np_graph_isomorphism.in
输出文件名	lets_play_dice.out	dress_up.out	dote___strvct.out	np_graph_isomorphism.out
时间限制	1000ms	1000ms	2500ms	1000ms
内存限制	512MiB	512MiB	512MiB	512MiB
提交文件限制	100KiB	100KiB	100KiB	100KiB
数据组数	20	20	20	10
满分分数	100	100	100	100

注意事项

1. 所有文件名均保证为小写（友情提示：请格外注意文件名）。
2. C++ 中 main() 函数返回值必须为 int 且为 $ 0 $。
3. C++ 编译器开启 C++14 标准及 O2 优化。
4. 提交的程序源文件需独立文件夹。
5. 结果比较方式为全文比较（忽略行末空格及行尾回车）。
6. 程序可使用的栈空间限制与对应题目内存限制一致。
7. 评测采用机器配置为：11th Gen Intel(R) Core(TM) i5-11320H @ 3.20GHz。注意：测评将在 Linux 虚拟机中进行，配置会有部分降低，对于造成影响的题目会增加部分时限。
8. 编译选项为：g++ -o sample sample.cpp -lm -Wl,--stack=2147483647 -std=c++14 -O2。
9. 对于本地 Linux 环境下调试时，可以添加编译选项：-fsanitize=undefined,signed-integer-overflow,address 以检测未定义行为、整数溢出，地址越界等问题。
10. 对于提答题请将 .out 为扩展名的文件统一放到子目录下。

Tips

tsawke 对你们的期望得分为 $ \ge 245 $。

同时部分数据尽量去卡了，可能卡的不是很好，故不保证一定会卡掉错误做法。

God does not play dice with the universe（lets_play_dice）

题目背景

既然放在了 T1 的位置，那么这道题自然是一道签到题了。

当然为了降低神仙题的难度，关键定理已在提示中给出。

题目背景之二

上帝可能不掷骰子，但是 tsawke 喜欢掷骰子。

题目描述

现在 tsawke 将会给你一个 $ m $ 面的骰子，其 $ m $ 面上标注了 $ 0, 1, 2, \cdots, m - 1 $ 共 $ m $ 个数字，每次丢出该骰子，显然会等概率生成一个 $ [0, m - 1] $ 的数字，具体地，如果我们认为骰子显示的数为 $ X $，那么离散型随机变量 $ X $ 的分布列为：

$ X $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ \cdots $	$ m - 1 $
$ P $	$ \dfrac{1}{m} $	$ \dfrac{1}{m} $	$ \dfrac{1}{m} $	$ \cdots $	$ \dfrac{1}{m} $

初次之外，tsawke 还为你提供了两个额外性质：

• $ X $ 的一阶原点矩（期望）为 $ E(X) = \sum_{i = 0}^{m - 1}i \times P(X = i) = \dfrac{m - 1}{2} $。
• $ X $ 的二阶中心矩（方差）为 $ D(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i = 0}^{m - 1}(i - E(X))^2 \times P(X = i) = \dfrac{m^2 - 1}{12} $。

现在 tsawke 会分别丢 $ n $ 次该骰子，记第 $ i $ 次骰子显示的数为 $ X_i $，tsawke 会进行 $ 10 $ 次独立询问，分别给定 $ A, B $，求 $ \sum_{i = 1}^n X_i \in [A, B] $ 的概率。

存在多组数据。

输入格式

第一行一个正整数 $ T $，表示测试数据组数。

对于每组测试数据：

第一行两个整数 $ m, n $。

接下来 $ 10 $ 行每行两个整数 $ A, B $。

输出格式

对于每组数据，输出 $ 10 $ 行，每行输出一个实数表示对应询问的答案，要求绝对误差不超过 $ 1e-2 $。

数据范围

对于 $ 100% $ 的数据，保证 $ T \le 10, 2 \le m \le 20, 1 \le n \le 2 \times 10^5, 0 \le A \le B \le (m - 1)n $。保证 $ n \gt 800 $ 的数据不超过 $ 2 $ 组。

对于具体的数据范围与约定：

测试点编号	$ m $	$ n $	特殊限制
$ 1 $	$ \le 20 $	$ \le 40 $	$ m^n \le 10^7 $
$ 2, 3, 4 $	$ \le 20 $	$ \le 1.6 \times 10^3 $	\
$ 5, 6, 7, 8, 9, 10 $	$ \le 20 $	$ \le 8 \times 10^3 $	\
$ 11, 12 $	$ = 2 $	$ \le 2 \times 10^5 $	\
$ 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 $	$ \le 20 $	$ \le 2 \times 10^5 $	\

Examples

Input_1

1
2 19
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9

Output_1

0.000002
0.000038
0.000364
0.002213
0.009605
0.031784
0.083534
0.179642
0.323803
0.500000

Examples_2

见下发文件中 /lets_play_dice/*。

提示

tsawke 觉得这道题有一些用到的性质似乎比较冷门，所以作为一个良心出题人，tsawke 为你们提供了几个可能用得到的定理。

对于期望为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，其概率密度函数为：

\[f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{-\tfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

对于 $ n $ 个独立同分布的随机变量 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $，若 $ E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2 $，令：

\[Y_n = \dfrac{\sum_{i = 1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \]

若 $ n $ 足够大，则我们认为 $ Y_n \sim N(0, 1) $。

真正的OIer从不女装（dress_up）

题目背景

众所周知，女装只有零次和无数次。

题目描述

给定序列 $ a_n $。

存在如下定义：若一个序列中所有数字均相同，那么我们称该序列为 "tsawke序列"。

对于每次的询问会给定 $ l, r $，求序列 $ a_n $ 中左右端点都在 $ [l, r] $ 中的最长的 "tsawke序列" 的长度。

直接这么问就太单调了，所以 tsawke 决定进行操作——“女装”，定义每次女装操作可以在询问区间 $ [l, r] $ 中任意挑选一个位置 $ p $，然后分别翻转区间 $ [l, p] $ 和 $ (p, r] $。

给定 $ m $ 个操作，有如下两种格式：

R l r x：将序列中 $ [l, r] $ 区间推平为 $ x $。

Q l r k：独立查询在区间 $ [l, r] $ 中进行最多 $ k $ 次女装操作（可以不做或做少于 $ k $ 次）后可能得到的最长 "tsawke序列" 长度。

Tips：再次提醒，询问独立。

输入格式

第一行两个整数 $ n, m $。

第二行 $ n $ 个整数表示序列 $ a_n $。

接下来 $ m $ 行按照格式给定操作。

输出格式

对于每次 $ Q $ 操作，输出对应的答案。

数据范围

对于 $ 20% $ 的数据，满足 $ 1 \le n, m \le 100 $。

对于另外 $ 10% $ 的数据，保证所有询问中 $ k = 0 $。

对于另外 $ 10% $ 的数据，不存在 $ R $ 操作。

对于 $ 100% $ 的数据，满足 $ 1 \le n, m \le 2 \times 10^5, 0 \le k \le 10^3, 1 \le a_i, x \le 10^9, 1 \le l \le r \le n $。

特别地，对于后 $ 80% $ 的数据，保证数据不随机。

Examples

Input_1

10 4
3 3 3 3 2 3 3 3 2 2
Q 1 6 1
Q 1 6 0
R 8 8 2
Q 5 10 1

Output_1

5
4
4

Examples_2

见下发文件中 /dress_up/*。

提示

对于样例的说明：

对于第一次询问，询问的区间为：

3 3 3 3 2 3

女装1次，将区间\([1,4]\)和\([5,6]\)分别翻转,得到：

3 3 3 3 3 2

此时可得到最长 “tsawke序列”，长度为5。可以证明没有别的女装方法能得到更长的 “tsawke序列”。

此后询问以此类推。

同时提供读入优化模板：

template < typename T = int >
inline T read(void){
    T ret(0);
    int flag(1);
    char c = getchar();
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        ret *= 10;
        ret += int(c - '0');
        c = getchar();
    }
    ret *= flag;
    return ret;
}

简单数据结构（dote___strvct）

题目背景

这道题需要抓紧时间嗷！

题目描述

给定序列 $ a_n $，及 $ m $ 个操作，以以下格式给出：

• 1 l r：输出 $ (\sum_{i = l}^r a_i) \bmod{1e9 + 7} $。
• 2 l r v：区间推平 $ [l, r] $ 为 $ v $。
• 3 l r v：对区间 $ [l, r] $ 加 $ v $。
• 4 l1 r1 l2 r2：将 $ [l_1, r_1] $ 的序列复制并覆盖到 $ [l_2, r_2] $。
• 5 l1 r1 l2 r2：将 $ [l_1, r_1] $ 的序列与 $ [l_2, r_2] $ 的序列交换。
• 6 l r：翻转区间 $ [l, r] $ 的序列。

输入格式

第一行两个整数 $ n, m $。

第二行 $ n $ 个整数表示序列 $ a_n $。

接着 $ m $ 行描述 $ m $ 个操作。

输出格式

对于每个操作 $ 1 $ 输出一行一个答案。

最后一行输出操作后的序列 $ a_n $。

数据范围

对于 $ 10% $ 的数据，满足 $ n, m \le 10^3 $。

对于 $ 20% $ 的数据，满足 $ n, m \le 5 \times 10^4 $。

对于 $ 30% $ 的数据，满足 $ n, m \le 1.5 \times 10^5 $。

对于另外 $ 20% $ 的数据，满足不存在操作 $ 4 $。

对于 $ 100% $ 的数据，满足 $ n, m \le 3 \times 10^5, 0 \le a_i, v \le 10^9 + 7 $，且数据完全随机。

对于复制和交换操作，保证两区间长度相同且无交。

Examples

Input_1

10 10
7 1 3 2 2 4 0 1 2 2 
4 10 10 3 3
3 4 10 5
6 6 7
6 9 10
1 10 10
5 9 10 6 7
2 8 10 0
5 4 4 5 5
5 2 4 8 10
3 3 9 0

Output_1

7
7 0 0 0 7 7 7 1 2 7

Examples_2

见下发文件中 /dote___strvct/*。

提示

本题方法不局限于一种。

什么？？？NP问题？？？（np_graph_isomorphism）

题目背景

首先先放一段原题中对于 NP 和 NPC 等问题的叙述。

当学生们遇到某个难题时经常会说“这怎么做，这不是 NP 问题吗？”、“这个只有搜了，这己经被证明是 NP 问题了”。但是，你应该淸楚，大多数人此时所说的NP问题其实都是指 NPC 问题。很多人没有真正掌握 NP 问题和 NPC 问题这两个基本概念。其实 NP 问题并不是那种“只有搜才行”的问题，NPC 问题才是。

很久以前就有一个古老的传说：有―个著名的问题，即P是否等于NP的问题，传说中谁要是证明或者证伪了这个命题，他将获得幸福。这里P是指能在多项式时间里求解的问题的集合。而NP是指可在多项式时间里验证的问题的集合。显然P是NP的子集，因为能在多项式时间里求解的问题，必定可在多项式时间里验证。

到目前为止还没有人因这个命题得到幸福。但是，有一个总的趋势，也就是人们普遍认为，\(P=NP\) 不成立，即，多数人相信，至少存在一个不可能有多项式时间复杂度的求解算法的NP问题。人们如此坚信 \(P \neq NP\) 是有原因的，因为在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也就是所谓的NPC问题。正是因为存在NPC问题，才使人们相信 \(P \neq NP\)。

在提出NPC的概念之后，绝大多数“自然”的难题最后都被证明是NPC问题，只有三个例外，它们分别是：

• 线形规划问题；
• 图同构问题；
• 素数判定问题与大数分解问题。

题目背景之二

虽然图的同构显然是一个 NP 问题，但是 tsawke 还是希望你能够以更优越的复杂度帮他解决这个问题。

题目描述

首先给定一下图的同构的定义：若将 $ A $ 图的顶点经过重新标号后可以使得 $ A $ 图和 $ B $ 图的顶点集和边集一一对应，那么称 $ A $ 图和 $ B $ 图是同构的。

现在你获得了一个不大的整数 $ n $，对于所有的含有 $ n $ 个点的简单无向图，显然其最多有 $ 2^{n \choose 2} $ 条边，你需要输出这些所有图中，有多少种本质不同图。

换句话说，同构的图算作一种，你需要计算有多少种不同的图。

答案对 $ p $ 取模，已知 $ p $ 为质数。

输入格式

一行两个非负整数 $ n, p $，表示图的顶点数和模数。

输出格式

一行一个整数，表示本质不同的图的数量，对 $ p $ 取模。

数据范围

对于 $ 20% $ 的数据，满足 $ 1 \le n \le 5 $。（这是给你们手画的部分分）

对于 $ 40% $ 的数据，满足 $ 1 \le n \le 10 $。（这部分分给的挺足了）

对于 $ 100% $ 的数据，满足 $ 1 \le n \le 60, p \gt n $，且保证 $ p $ 为质数。

Examples

Input_1

1 1145141

Output_1

1

Input_2

3 1145141

Output_2

4

Examples_3

见下发文件中 /np_graph_isomorphism/*。