[ABC270Ex] add 1 题解

[ABC270Ex] add 1 Solution

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题面

给定序列 $ A_n $，存在 $ n $ 个初始为 $ 0 $ 的计数器，每次可以进行如下操作：选定一个计数器使其变为 $ 0 $ 并使得其它所有计数器 $ +1 $。求期望的使对于每个 $ i $ 满足第 $ i $ 个计数器的数值不小于 $ A_i $ 的操作次数。对 $ 998244353 $ 取模。

Solution

大概是一道没有什么高端的算法，仅靠推式子的难度评黑的题。

首先我们不难想到，如果设当前计数器的值为 $ C_i $，那么我们的目的就是要满足所有 $ A_i - C_i \le 0 $。

然后不太严谨地思考一下不难发现，我们每次是使除了选择的其它的计数器都加一，所以拖后腿的一定是 $ \max{A_i - C_i} $，令 $ k = \max{A_i - C_i} $ 则状态将仅与 $ k $ 相关。

于是此时不难想到一个较为简单的状态：令 $ F(k) $ 表示状态为 $ k $ 时的期望操作次数。

显然 $ F(0) = 0 $，考虑转移，不难发现状态 $ k $ 肯定对应这一个或者一段 $ A $，因为序列 $ A $ 是不降的，所以我们假设第一个对应的前一个为 $ A_{idx} $，显然对于前 $ idx $ 个的操作都会使 $ k \leftarrow k - 1 $，对于 $ idx $ 之后的操作都会使当前的 $ k $ 变为新的 $ A_i $，所以转移显然为：

\[F(k) = \dfrac{idx}{N}F(k - 1) + \dfrac{1}{N} \sum_{i = idx + 1}^N F(A_i) + 1 \]

转化一下：

\[N \times F(k) = idx \times F(k - 1) + \sum_{i = idx + 1}^N F(A_i) + N \]

\[idx \times F(k - 1) = N \times F(k) - \sum_{i = idx + 1}^N F(A_i) - N \]

\[F(k - 1) = \dfrac{N \times (F(k) - 1) - \sum_{i = idx + 1}^N F(A_i)}{idx} \]

现在不难发现即较小的都在左侧，较大的都在右侧，不过这个转移仍然不行，也就是我们是已知 $ F(0) $ 然后想要求 $ F(A_n) $，但是这个式子却是需要反过来转移的，所以需要优化。

考虑令 $ G(k) $ 表示从状态 $ 0 $ 转移到状态 $ k $ 的期望次数，所以显然有 $ G(k) + F(k) = F(A_n) $。移个项然后带进去 $ F $，显然有：

\[F(A_n) - G(k) = \dfrac{idx}{N}((F(A_n) - G(k - 1)) + \dfrac{1}{N} \sum_{i = idx + 1}^N (F(A_n) - G(A_i)) + 1 \]

显然 $ F(A_n) $ 抵消了，则：

\[G(k) = \dfrac{idx}{N} G(k - 1) + \dfrac{1}{N} \sum_{i = idx + 1}^N G(A_i) - 1 \]

类比一下之前的推出来：

\[G(k - 1) = \dfrac{N(G(k) + 1) - \sum_{i = idx + 1}^N G(A_i)}{idx} \]

显然：$ G(A_n) = 0 $，我们要求 $ G(0) $，符合转移。

不难发现对于固定的 $ k $ 一定对应着固定的 $ idx $，也就是 $ \dfrac{N - \sum_{i = idx + 1}^N G(A_i)}{idx} $ 可以认为是一个常数，令其为 $ C $，若再令 $ B = \dfrac{N}{idx} $，所以有 $ G(k - 1) = B \times G(k) + C $，属于较为简单的转移，考虑矩乘优化，构造矩阵的过程也是平凡的，得到：

\[\begin{pmatrix} G(k) & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G(k - 1), 1 \end{pmatrix} \]

对于 $ [A_i, A_{i + 1}] $ 之间的部分的所有 $ k $ 显然 $ B $ 和 $ C $ 是相同的，这一部分用矩阵快速幂优化一下即可，最后复杂度应为 $ O(2^3 n \log A_i) $。

Code

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <bits/stdc++.h>

#define PI M_PI
#define E M_E
#define npt nullptr
#define SON i->to
#define OPNEW void* operator new(size_t)
#define ROPNEW void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = ed; return P++;}

using namespace std;

mt19937 rnd(random_device{}());
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}

typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long unll;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define MOD (998244353ll)

template < typename T = int >
inline T read(void);

struct Matrix2{
    ll v00, v01, v10, v11;
    friend Matrix2 operator * (const Matrix2 &a, const Matrix2 &b){
        return Matrix2{
            (a.v00 * b.v00 % MOD + a.v01 * b.v10 % MOD) % MOD,
            (a.v00 * b.v01 % MOD + a.v01 * b.v11 % MOD) % MOD,
            (a.v10 * b.v00 % MOD + a.v11 * b.v10 % MOD) % MOD,
            (a.v10 * b.v01 % MOD + a.v11 * b.v11 % MOD) % MOD
        };
    }
};
Matrix2 base{1, 0, 0, 1};

ll qpow(ll a, ll b){
    ll ret(1), mul(a);
    while(b){
        if(b & 1)ret = ret * mul % MOD;
        b >>= 1;
        mul = mul * mul % MOD;
    }return ret;
}
ll inv(ll v){return qpow(v, MOD - 2);}
Matrix2 qpow(Matrix2 a, ll b){
    Matrix2 ret(base), mul(a);
    while(b){
        if(b & 1)ret = ret * mul;
        b >>= 1;
        mul = mul * mul;
    }return ret;
}

int N;
ll A[210000];

int main(){
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; ++i)A[i] = read < ll >();
    Matrix2 ans{0, 1, 0, 0};
    ll cur(0);
    for(int i = N - 1; i >= 1; --i){
        ll B = N * inv(i) % MOD, C = (N - cur) * inv(i) % MOD;
        ans = ans * qpow(Matrix2{B, 0, C, 1}, A[i + 1] - A[i]);
        (cur += ans.v00) %= MOD;
    }printf("%lld\n", (ans.v00 % MOD + MOD) % MOD);
    fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

template < typename T >
inline T read(void){
    T ret(0);
    int flag(1);
    char c = getchar();
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        ret *= 10;
        ret += int(c - '0');
        c = getchar();
    }
    ret *= flag;
    return ret;
}

UPD

update-2023_01_27 初稿