LG-P5104 红包发红包 题解

LG-P5104 红包发红包 Solution

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关于本题怎么做题解区的大佬们已经讲的很清楚了，因为这是我的第一道期望题，所以这里仅对积分推导过程做一些较为详细的补充。

显然令第一个人抢到的钱数为 $ x $，那么 $ x $ 的分布函数 $ f(x) $ 较为显然：

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{\omega} &\quad x \in \left[ 0, \omega \right] \\ 0 &\quad x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( \omega, +\infty \right) \end{array} \right. \]

那么我们要求的期望也就比较显然为：

\[\int_0^\omega x f(x) dx = \int_o^\omega \dfrac{x}{\omega}dx \]

这个东西比较显然的就是用牛顿-莱布尼茨公式求解：

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) \vert_a^b \]

其中 $ F'(x) = f(x) $，证明略。

带到本题中也就是我们考虑令 $ g(x) = \dfrac{x^2}{2\omega} $，那么显然 $ g'(x) = \dfrac{x}{\omega} $。所以有：

\[\begin{aligned} \int_o^\omega \dfrac{x}{\omega}dx &= g(\omega) - g(0)\\ &= \dfrac{\omega^2}{2\omega}\\ &= \dfrac{\omega}{2} \end{aligned} \]

或者也可以考虑从定义出发，显然有如下公式：

\[\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{b - a}{n}f(x_i) \]

这个东西本质上就是把曲边梯形分成 $ n $ 份，然后分别当成矩形求解加和，也就是定积分的本质，如果还是不理解可以看一下这个图（预高一的时候老师讲的）。

带入到这题里面，显然 $ x_i = i\dfrac{\omega - 0}{n} + 0 = \dfrac{i \omega}{n} $，于是便有：

\[\begin{aligned} \int_o^\omega \dfrac{x}{\omega}dx &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{\omega}{n} \dfrac{i\omega}{n\omega} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{i\omega}{n^2} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{(1 + 2 + \cdots + n)\omega}{n^2} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2} \dfrac{(n^2 + n)\omega}{n^2} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\omega}{2} \dfrac{n^2 + n}{n^2} \\ &= \dfrac{\omega}{2} \end{aligned} \]

而对于后面的第 $ k $ 个人，我们进行如下考虑，第一个人期望取走 $ \dfrac{\omega}{2} $，那么他也期望剩下 $ \dfrac{\omega}{2} $，所以第二个人等于是在 $ \dfrac{\omega}{2} $ 的基础上再取，推一下显然就是 $ \dfrac{\omega}{4} $，于是很显然，这样推下去，一定有第 $ k $ 个人的期望为 $ \dfrac{\omega}{2^{k}} $，于是写个快速幂求个逆元取个模就 Accept 了。

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update-2022_10_18 初稿