Mobius - 莫比乌斯反演

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  • 式子
  • 关于狄利克雷卷积
  • 常用的几个卷积
  • 几个常用的性质
  • UPD

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式子

最常用的推导就是这个：

\[\begin{aligned} &\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \left[ \gcd(i, j) = 1 \right] \\ =& \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \epsilon(\gcd(i, j)) \\ =& \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \sum_{d \vert \gcd(i, j)} \mu(d) \\ =& \sum_{d = 1}^{\min(n, m)} \mu(d) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor \end{aligned} \]

然后就可以数论分块解决了，最重要的思想就是将 $ \gcd $ 转换为 $ \epsilon $ 再转换为 $ \mu $。

写成狄利克雷卷积的形式就是：

\[\epsilon = \mu \ast 1 \]

不过这玩意一般没啥用。。。

整个莫比乌斯反演的结论用一般写法就是：

\[\begin{aligned} & f(n) = \sum_{d \vert n}g(d) \\ \Longrightarrow &g(n) = \sum_{d \vert n}\mu(n)f(\dfrac{d}{n}) \end{aligned} \]

狄利克雷卷积写法的话是：

\[f = g \ast 1 \Longrightarrow g = f \ast \mu \]

关于狄利克雷卷积

这玩意似乎还是个群，存在单位元 $ \epsilon $，也就是 $ f \ast \epsilon = f $。

然后也存在逆元（狄利克雷逆），求法是一大坨式子，基本用不上，然后群论那一套东西这玩意似乎都符合。

然后有这么几个常用的函数：

莫比乌斯函数 $ \mu(x) $：略了（式子太长懒得写 latex 了）。

欧拉函数 $ \varphi(x) $：应该都知道吧。

单位函数 $ \epsilon(x) \(：\) \epsilon(x) = \left[ x = 1 \right] $。

恒等函数 $ \operatorname{Id}(x) \(：\) \operatorname{Id}(x) = x $。

常数函数 $ 1(x) \(：\) 1(x) = 1 $。

约数个数函数 $ d(x) \(：\) d(x) = \sum_{i \vert x}1 $。

约数和函数 $ \sigma(x) \(：\) \sigma(x) = \sum_{d \vert x}d $。

常用的几个卷积

\[\epsilon = \mu \ast 1 \]

\[d = 1 \ast 1 \]

\[\operatorname{Id} \ast 1 = \sigma \]

\[\mu \ast \operatorname{Id} = \varphi \]

\[\varphi \ast 1 = \operatorname{Id} \]

证明懒得写了。。。

其它都好说，关于最后一个，根据 sssmzy 的思路大概就是把 $ LHS $ 展开，考虑一下 $ \gcd $ 分组感性理解一下，虽然我没完全明白。

然后关于归纳法的严格证明看到了一个很严谨的，戳此查看。（看不懂）

然后根据第一个式子，显然 $ \mu $ 的逆元就是 $ 1 $，这样莫比乌斯反演也就很好证了。。。

也就是说 $ f \ast \epsilon = f $，然后 $ \mu \ast 1 = \epsilon $，所以有：

\[\begin{aligned} f &= g \ast 1 \\ f \ast \mu &= g \ast 1 \ast \mu \\ f \ast \mu &= g \ast \epsilon \\ f \ast \mu &= g \end{aligned} \]

几个常用的性质

嗯这个是从 zpair 的 blog 里抄过来的，挺人类智慧。

\[\varphi(ij) = \dfrac{\varphi(i) \varphi(j) \gcd(i, j)}{\varphi(\gcd(i, j))} \]

\[\varphi(i)\varphi(j) = \varphi(\gcd(i, j))\varphi(\operatorname{lcm}(i, j)) \]

\[d(ij) = \sum_{x \vert i} \sum_{y \vert j} \left[ \gcd(x, y) = 1 \right] \]

大概这样。。。

UPD

update-2022_09_23 初稿