均值不等式

简述：在经过碰壁→看答案不知所谓→和大佬交流→沉淀（雾）得出了一些神秘结论，在这里分享给大家。

一.发现问题

寒假作业六 均值不等式极其应用 填空题 \(7\)
在做这道题的时候，我列出了一个式子
\(a*\sqrt{b^2+1} \leq \frac{(a+\sqrt{b^2+1})^2}{4}\)
这个式子很显然是正确的，但算出来这道题没做对。
这里想一想这个问题：我为什么会列出这个式子
大家看看接下来的两个式子
\(\sqrt{nab} \leq \frac{na+b}{2}\)
\(\sqrt{nab} \leq \frac{a+nb}{2}\)
这两个式子显然都成立，在取等号的时候分别有 \(na=b\) 和 \(a=nb\)
为什么会有两个不同含义的式子呢，我们先来思考一下等号的意义

二.均值不等式的含义

在这里我们只讨论均值不等式，下面写的内容都建立在均值不等式成立的基础上，即变量大于零

在这里先把结论说一下，列均值不等式的过程实际上是构造的过程

对于 \(x+\frac{1}{x}\) 我们可以列出这样的均值不等式：\(x+\frac{1}{x} \geq 2*\sqrt{x*\frac{1}{x}}=2\)
这样就能求出 \(x+\frac{1}{x}\) 最小值为 \(2\) 并且此时 \(x=\frac{1}{x}\) 即 \(x=1\)
我们构造出这样一个均值不等式使得不等式的右边是一个常数，这样就能求得答案。
相似的，如果不等式右边不是常数，看看会发生什么。
\(x+\frac{1}{x}=(x+1)+\frac{1}{x}-1 \geq 2*\sqrt{(x+1)*\frac{1}{x}}-1=2*\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1\)
均值不等式到这一步是成立的

可以把不等式的两边理解成两条曲线（直线），不等式取等条件是两条曲线（直线）的切点

如图，刚才构造出的第二个均值不等式如下，不等式显然成立，取等时是两条曲线的切点，但它不是我们要求的 \(x+\frac{1}{x}\) 最小值

三.经典构造

记住这个结论：列均值不等式的过程实际上是构造的过程
寒假作业六 均值不等式极其应用 填空题 \(9\)
这种题型十分经典，这里选取这种十分经典的题目举例来说明一个问题。在期末考试前，也是这种题型，有这样一种错误做法：通过前面等式中 \(x\) 与 \(y\) 的关系，将xxx最小值化为只有 \(x\) 的式子，再直接列出均值不等式化简到 $x \geq 一个数 $ 的形式。
当时我们想为什么这么做是错的，草草讨论得出结果：均值不等式并不是充要的，所以不能直接列均值求解。
结合正解的思路和刚才的结论，这个错解错误的原因终于得到了解释。

四.回到原题

练习册的答案乘以的 \(\sqrt{2}\) 不知所谓，有一种面向答案做题的美。
将式子化为 \(a*\sqrt{4-2a^2}\) 后考虑构造均值不等式，使得等式右侧为常数，即把 \(a\) 消掉。
\(\frac{1}{\sqrt{2}}*(\sqrt{2}a*\sqrt{4-2a^2})\) \(\leq \frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{(\sqrt{2}a)^2+(\sqrt{4-2a^2})^2}{2}=\sqrt{2}\)

五.思维误区 结论

在第一次遇到这个问题（期末前），得出了“不充要”这个结论便草草收场
如果这次我全盘接受答案的做法，那这个问题的发现可能会更晚一些
在这个问题上，我之前只会用老师上课讲过的方法套进题里，并没有深刻的思考均值不等式的本质是什么。

用不同的构造方法写出不同的均值不等式，他们都是成立的，但可能算不出题目的答案。
比如说最终答案是 \(x \leq 3\) 构造出一个均值不等式算出来 \(x \leq 2\)，这确实是正确的。但 \(2\) 并不是 \(x\) 的最大值。
这就是为什么我们列出了均值不等式，看似步步逻辑不出问题，最后答案是错的。
回到不等式的图形意义，构造出的曲线并不是最优解。

六.一些猜测

这里的东西只是我的猜测，它可能是错的
这里的东西以后再研究，或者读者有什么想法火速发给我，我还要去玩战地1（逃）
1.构造出均值不等式，过程没有问题，算出的 \(x\) 范围是标准答案中 \(x\) 范围的子集。
2.构造均值不等式使得不等式一边为常数就行，因为常函数是直线，能直接和曲线的最值相切。

这篇文章不写一个像样的结尾了，主要是和大家分享一下我踩了一个学期的坑，希望能有所帮助。