【做题记录】POI2011 Lightning Conductor

• \(\text{POI2011 Lightning Conductor}\)

  • 算法：决策单调性优化DP

题目：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_n\}\)，对于每个 \(i\in [1,n]\) ，求出一个最小的非负整数 \(p\) ，使得 \(\forall j\in[1,n]\)，都有 \(a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}\)。

\(1 \le n \le 5\times 10^{5}\)，\(0 \le a_i \le 10^{9}\)。

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题解：

先考虑把 \(p_i\) 单独移到一边。

\[p_i\ge a_j-a_i+\sqrt{|i-j|} \]

\[p_i=\max\limits_{j=1}^n\{a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a_i \]

直接考虑拆开绝对值。

\[p_i=\max(\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\},\max_{j=i}^n\{a_j+\sqrt{j-i}\})-a_i \]

单独看前一部分

\[p_i=\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\}-a_i \]

显然后一部分即为第一部分翻转。

以下只考虑第一部分。

考虑对于每个 \(j\)，把 \(a_j+\sqrt{i-j}\) 看成关于 \(i\) 的函数 \(f_j\)。

答案即为在所有 \(j\le i\) 的函数中找到最值。

那么接下来考虑证明这玩意的决策单调性。

笔者几何不好，所以选择代数证明。

相信大家都会四边形不等式。（\(w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，其中满足 \(a\le b\le c\le d\)）

即对于 \(f_i=\min\{f_j+w(j,i)\},j\in [0,i]\)，若函数 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(f\)具有决策单调性。

设 \(w(i,j)\) 为 \(\sqrt{i-j}\)，钦定 \(c>a+1\)，得

\(\because w(a,c)= \sqrt{c-a},w(a+1,c)=\sqrt{c-a-1},w(a,c+1)=\sqrt{c-a+1},w(a+1,c+1)=\sqrt{c-a}\)

\(\therefore w(a,c+1)+w(a+1,c)-w(a,c)-w(a+1,c+1)=\sqrt{c-a-1}+\sqrt{c-a+1}-2\sqrt{c-a}\)

令 \(d=c-a\)，

\(\begin{aligned}w(a,c+1)+w(a+1,c)-w(a,c)-w(a+1,c+1) & = \sqrt{d+1}+\sqrt{d-1}-2\sqrt d \\ & = (\sqrt{d+1}-\sqrt d)-(\sqrt d-\sqrt{d-1})\end{aligned}\)

\(\because \sqrt x-\sqrt{x-1}\) 具有单调性

\(\therefore w(a,c+1)+w(a+1,c)\le w(a,c)+w(a+1,c+1)\)。

那么显然这个可以推广至 \(a,b,c,d\)。

由于本题求 \(\max\)，因为将式子符号取反，易知满足决策单调性。

于是直接上两次单调队列就好了。

时间复杂度 \(O(n)\)。