【做题记录】CF109C Lucky Tree

• \(\text{CF109C Lucky Tree}\)

题目：

一棵树，其中有若干条关键边，求有多少点三元组 \((i,j,k)\) 满足 \(i\) 与 \(j\) 间有关键边且 \(i\) 与 \(k\) 间有关键边。

\(n≤10^5\)。

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题解：

考虑将关键边断开，那么会得到许多连通块。

从当前连通块中选择一个点 \(i\)，再从其他连通块任选两个 \(j,k\) 必然合法。

设当前连通块的大小为 \(k\)，那么答案即为

\[\sum2k\dbinom{n-k}{2} \]

就是从 \(n-k\) 中选择两个 \(j,k\)，然后对于当前连通块中每一个都需要计算，乘上 \(k\)，三元组有序乘上 \(2\)。

拓展：

加入是多元组（设为 \(p\) 组），设连通块大小为 \(t_1\dots t_m\)，则答案即为一个经典问题，从 \(m\) 堆中选择 \(p\) 个，答案即为 \(\displaystyle{[x^p]\prod_{i=1}^m(1+t_ix)}\)，显然使用分治FFT 可以快速做到 \(O(m\log^2m)\)。