【做题记录】HEOI2013 SAO

• \(\text{HEOI2013 SAO}\)

  • 算法：dp

题目：

给出一棵边有方向的树，求该图的拓扑序数量。

\(n\le 10^3\)

题解：

先将这玩意当做普通的树来做。

设 \(f_{u,i}\) 表示节点 \(u\) 在子树中的排名为 \(i\) 的方案数。

那么考虑类似于树形背包，将 \(v\) 加入子树 \(u\) 来转移。

1. \(v\) 连向 \(u\)。

所以 \(u\) 拓扑序比 \(v\) 大。

设 \(u\) 原来的排名为 \(p\)，\(v\) 原来在其子树中的排名为 \(q\)。

设 \(f_{u',k}\) 为 \(u\) 加入 \(v\) 这棵子树后 \(u\) 排名为 \(k\) 的方案。

那么 \(v\) 中就必然有 \(k-p\) 个节点的拓扑序比 \(u\) 小。而 \(v\) 的排名比 \(u\) 前。

所以转移的限制是 \(q\le k-p\) 即 \(p+q\le k\)。

考虑现在比 \(u\) 小的节点有 \(k-1\) 个，原来比 \(u\) 小的有 \(p-1\) 个，显然这些点是确定的，所以只需要考虑顺序，方案数为 \(\dbinom{k-1}{p-1}\)。那么剩下比 \(u\) 排名大的同理方案数为 \(\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}\)。

所以可得转移为

\[f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}\sum_{q=1}^{sz_v}[p+q\le k]f_{u,p}f_{v,q}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p} \]

2. \(u\) 连向 \(v\)。

与第一种同样的方法。

直接上转移：

\[f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}\sum_{q=1}^{sz_v}[p+q> k]f_{u,p}f_{v,q}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p} \]

考虑优化。

先提出 \(p\)：

\[f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}\sum_{q=1}^{k-p}f_{v,q} \]

\[f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}\sum_{q=k-p+1}^{sz_v}f_{v,q} \]

发现直接搞一个前缀和就好了。

设 \(s_{u,i}\) 为 \(f_{u,i}\) 的前缀和。

\[f_{u'k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}s_{v,q} \]

\[f_{u'k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}(s_{sz_v}-s_{k-p}) \]

时间复杂度 \(O(n^2)\)。