【做题记录】ARC068D Solitaire

• \(\text{ARC068D Solitaire}\)

  • 算法：dp

题目：

将 \(1\sim n\) 顺序加入双端队列（每次可加头可加尾），再删除（每次可删头可删尾），求有多少种删除序列，使得 \(1\) 是第 \(k\) 个被删的。

\(1\le n,k\le 2000\)。

题解：

这里是一个 \(O(n^2)\) 的做法，在这篇题解中有 \(O(n+q)\) 的线性做法。

考虑这个双端队列长什么样：应该是一个以 \(1\) 为分割点，左边是一个单调下降序列，右边是单调上升序列。

考虑删除的第 \(k\) 个点要是 \(1\)，弹出时是选择两端中的一端弹出，拆开弹出的序列，一部分为前端弹出的数，另一部分为后端弹出的数，于是这两部分就是单调递减的，且前 \(k-1\) 个数中其中一个序列的最小值一定大于后 \(n-k\) 个数中的最大值。

然后因为在确定了 \(1\) 的位置后，之后随便删除，所以剩下的随便排序，有 \(2^{n-k-1}\) 种。

直接 dp：\(f_{i,j}\) 表示前 \(k-1\) 个数中前 \(i\) 个数，这些数的最小值为 \(j\)。

考虑下一个数 \(k\) 与 \(j\) 的大小关系：

1. \(f_{i,j}\to f_{i+1,k}(j\ge k)\)。

2. \(f_{i,j}\to f_{i,j+1}(k>j)\)

总时间复杂度 \(O(n^2)\)。