【做题记录】CF521D Shop

• \(\text{CF521D Shop}\)

  • 算法：贪心

题目：

一个长度为 \(k\) 的正整数序列 \(a\)。

有 \(n\) 个操作，每个操作给定正整数 \(op, i, val\)，三种类型：

1. \(op=1\)，将 \(a_i\) 赋值为 \(val\)；

2. \(op=2\)，将 \(a_i\) 加上 \(val\)；

3. \(op=3\)，将 \(a_i\) 乘以 \(val\)。

你可以从 \(n\) 个操作中选择最多 \(m\) 个操作，并按照一定顺序执行。

最大化 \(\displaystyle\prod_{i=1}^k a_i\) 的值。

\(k,n \le 10^5\)。

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题解：

首先乘法运算是简单的，因为求 \(\prod\)，而乘法与顺序、位置无关。所以考虑加法、赋值。

赋值显然是可以看成一种加法。

那么考虑转化加法。

显然存在最优方案：先赋值再加法再乘法。

假设不存在赋值操作, 那么每个位置的执行的加法必然是 \(val\) 最大的几个。那么按 \(val\) 排序，得到的 \(val\) 将是有序的。那么每个加法执行位置有序。

令当前加法的前一个加法加 \(y\)，后一个加法加上 \(x\)，那么当前加法就等同于乘上 \(\dfrac{x}{y}\)。

那么赋值就可以转化为加法后再转为乘法。注意加法是对赋值有影响，所以不能直接转换。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。