Manacher求字符串中回文串的个数

思路

引入

一些暴力

\(Θ(𝑛)\) 枚举左端点， \(Θ(𝑛)\) 枚举右端点，然后暴力判断，复杂度 \(Θ(𝑛^3)\) 。

当然，可以优化，判断那部分用哈希搞一搞以后就是 \(Θ(𝑛^2)\) 了。

另一个暴力

\(Θ(𝑛)\) 枚举对称中心，暴力往两边拓展，最坏复杂度 \(Θ(𝑛^2)\) 。

这就是 \(\operatorname{Manacher}\) 算法的基础。

优化

我们发现，每遍历到一个新的对称中心，都需要再向两边拓一遍，然而这就必然会浪费之前花费大量时间求出来的信息，所以要考虑用之前的信息来转移该点的答案。

由于之前求的信息均与对称相关，我们考虑使用有关对称的信息来更新答案。

怎么使用呢？我们可以将这个点对称到已经求过的地方来统计答案，而为了尽可能利用更多的信息，选择的点 \(id\) 应满足：

{[(以该点为对称中心的回文串)的右端点]在所有[(以「已求点」为对称中心的回文串)的右端点]中是最靠右的}

将以该点位对称中心的回文串称为 \(s\) 。

不难发现，所求点 \(i\) 一定在 \(s\) 串的右侧，因为 \(s\) 串左侧的所有点必定已经遍历过，不过 \(s\) 可能无法覆盖到 \(i\) 点，这里先假设 \(s\) 能够覆盖到 \(i\) 点

然后把 \(i\) 点对称到 \(s\) 串左侧对应位置（称为 \(j\) ），如下图所示：

显然，以 \(j\) 为对称中心的回文串本来是 \(ab\) ，但 \(s\) 串右侧不一定有对应的 \(ac\) 串，所以只能舍弃，同理 \(bd\) 段也要丢弃。所以最后产生贡献的只有 \(cd\) ，对应 \(i\) 周围的 \(ef\) 。自然地，如果 \(ab\) 在对称半径内，整个 \(ab\) 都可以对 \(i\) 产生贡献。

也就是说设 \(f_i\) 为 \(i\) 的回文半径，$$f_i=\min(f_{id+id-i},l-i)$$

但是，不能保证 \(s\) 串外没有对应的回文串，也就是说 \(i\) 的回文半径可能更长，还需要继续暴力向两边拓展。

其次，如果 \(s\) 串没有覆盖到 \(i\) 点，那么我们只能采用完全暴力的方式计算答案。

特别地，建议将最右端与 \(i\) 点重合也算为没有覆盖到，因为这样可以少取一个 \(\min\)。

复杂度 \(Θ(𝑛)\) ，因为保 \(s\) 串最右端单调递增，所以是 \(Θ(𝑛)\) 的。

细节

特殊处理

对于奇回文，对称中心十分好找，但偶回文没有单独的对称中心，处理起来十分麻烦，同时在拓展到最边缘的两个无关字符以后，暴力程序还会继续尝试拓展，进而导致越界。

于是，我们可以采用下面的办法巧妙的解决这些问题。

• 在字符串首尾及每个字符间都插入一个 #

• 在首尾两端各插入两个不同的符号（如$和&），用于判断是否越界

例如偶回文abcddcba转化后变成了奇回文&#a#b#c#d#d#c#b#a#$

统计答案

显然，所加的无关字符都是一一对应的，所以$$实际回文半径长度=\left \lfloor \frac{求出的回文半径长度}{2} \right \rfloor$$

实际上，回文半径长度就是回文串的个数，对于每一个对称中心求和就好

Code

点击查看代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
char s[11000005], use_s[33000005]; // 所使用的字符串 
int padius[33000005]; // 回文半径 
inline int get_len() { // 预处理 
	int len = strlen(s), // 原串长度 
	cnt = 0; // 用于标记 
	use_s[cnt++] = '&'; // 防止越界 
	use_s[cnt++] = '#'; // 先标记第一个 
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		use_s[cnt++] = s[i];
		use_s[cnt++] = '#';
	} // 在每次循环中，先存储该字符，再标记# 
	use_s[cnt] = '$'; // 仍然是防止越界 
	return cnt; // 返回串的长度 
}
inline int Manacher() {
	int ans = 0, // 最终答案 
	len = get_len(), // 所使用的串的长度 
	rs = 0, id = 0; // 最右端和对应的对称中心 
	for (int i = 1; i < len; i++) {
		if (i < rs) padius[i] = std::min(padius[id + (id - i)], rs - i);
		else padius[i] = 1; // 同理，不过是初始化 
		while (use_s[i + padius[i]] == use_s[i - padius[i]]) padius[i]++; // 暴力拓展 
		if (i + padius[i] > rs) rs = i + padius[i], id = i; // 更新id 
		ans += (padius[i] >> 1);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%s", s);
	printf("%d\n", Manacher());
	return 0;
}