数模之层次分析法

前言

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层次分析法通过将决策分成目标、准则、方案等多个层次，来进行定性和定向的分析。

这个算法通常用于多指标的综合评价问题，一般有两个用途：

1.为指标定制权重
2.量化方案的选择

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算法实现过程

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首先我们将一个事件分为三部分：

1.目标层（决策问题）
2.准则层（影响因素）
3.方案层（可供选择的方案）

然后分别按照实际因素，构造准则矩阵和方案矩阵，相乘得出得分。

即可得出评价。

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举例

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其中，

目标层：最优旅游地选择
准则层：C1~C5
方案层：P1~P4

构造准则矩阵：

假设C1~C5的重要程度分别为：

C1重要程度是C2的3倍；
C1重要程度是C3的6倍；
C1重要程度是C4的2倍；
C1重要程度是C5的6倍；

那么准则矩阵C第一行为：

[ 1 3 6 2 6 ]

逐次对每行进行如此判断构造，得出最终矩阵：

\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 & 2 & 6\\ 1/3 & 1 & 2 & 2/3 & 2\\ 1/6 & 1/2 & 1 & 1/3 & 1\\ 1/2 & 2/3 & 3 & 1 & 3\\ 1/6& 1/2 & 1 & 1/3 &1 \end{bmatrix} \]

尽管这里我构造的矩阵每行的比例一致，但是在实际状况下，人的主观感受会导致每行的重要程度比例不同。

所以我们需要使用两次标准化来将主观评价量客观化，这里有两种方法：

1.使用乘积的方法：

对于每一行：

\[C_i = \sqrt[m]{\prod_{j=1}^{m} C_{ij}} \]

然后对得出的列向量C' 进行标准化：

\[W_i = \frac{C_i}{\sum_{i=1}^{n}C_i} \]

得出最终可以用于评分的准则矩阵W = [w1,w2…wn]

2.使用两次标准化的方式：

对于每一列进行一次标准化，得出标准化后的矩阵，然后再对每一行求算数平均值。

如图所示：

求得矩阵W后，我们需要对我们构造的矩阵进行一致性检验，判断其是否具有逻辑性错误：

首先，我们需要计算一个最大特征根：

其中，AW为一开始构造的矩阵C与标准化后的矩阵W相乘后的按行累加值。

得出 λ 后，求出两个不用管是什么意义的值：

CI值：CI = (λ-n)/ (n-1)

再根据查表得出RI的值：

最终得出CR：

CR = CI/RI

当CR<0.1时，我们可以认为我们构造的矩阵的一致性程度在可以接受的范围内。我们进进行下一步。

开始构造方案层矩阵。

方案层矩阵需要构造多个，每一个矩阵都是针对每一个影响因素而设计的，例如，针对景色这一影响因素构造矩阵：

仍旧按照之前构造准则矩阵的方式构造这一矩阵，首先我们针对景点1的景色相对于景点2来进行评分，如此重复得出整个矩阵。

对于每个构造出的矩阵，我们都需要进行标准化和一致性的检验。

最后，根据每个因素，计算加权得分，最终判断我们的决策。