算法第三章作业

“7-4 最低通行费”动态规划实践报告

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

1.1 递归方程、定义与边界条件

定义：

[dp[i][j]]
表示从左上角 ((1,1)) 走到格子 ((i,j)) 时，所需缴纳的最少通行费，且费用包含起点和当前格子的费用。
对于内部格子 ((i,j))，即 (i\geq2,\ j\geq2)，到达该格子只可能来自：

• 上方格子 ((i-1,j))；
• 左侧格子 ((i,j-1))。
  因此递归方程为：
  [dp[i][j]=\min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j]]
  边界条件如下：
  [dp[1][1]=a[1][1]]
  第一行只能从左向右到达：
  [dp[1][j]=dp[1][j-1]+a[1][j],\quad 2\leq j\leq N]
  第一列只能从上向下到达：
  [dp[i][1]=dp[i-1][1]+a[i][1],\quad 2\leq i\leq N]
  原问题的最优解为：
  [dp[N][N]]
  即从左上角到右下角所需的最少通行费。

1.2 填表法设计

动态规划表 dp 是一个二维数组，维度为：
[N \times N]
程序中采用下标从 1 开始的写法，因此定义为 dp[105][105]，可满足题目 (N<100) 的要求。
填表范围及顺序如下：

1. 先填左上角：dp[1][1]；
2. 从左到右填第一行：dp[1][2] 至 dp[1][N]；
3. 从上到下填第一列：dp[2][1] 至 dp[N][1]；
4. 按行优先顺序填其余位置：外层循环 (i=2) 到 (N)，内层循环 (j=2) 到 (N)。
   这种顺序保证计算 dp[i][j] 时，所需的 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都已经求出。
   最终，表中右下角元素：
   [dp[N][N]]
   就是商人在规定时间内穿越网格的最少通行费。

1.3 时间复杂度和空间复杂度

共有 (N^2) 个状态，每个状态只进行一次取最小值和加法运算，均为常数时间，因此时间复杂度为：
[O(N^2)]
程序使用了费用数组 a 和动态规划数组 dp，二者均为二维数组，所占空间与网格规模成正比，因此空间复杂度为：
[O(N^2)]
若不要求保留完整的动态规划表，还可以使用一维数组滚动更新，将动态规划部分的空间降为 (O(N))；但题目给出的代码采用二维表，故其实际空间复杂度为 (O(N^2))。