【loj 3275】「JOISC 2020 Day2」有趣的 Joitter 交友【启发式合并】

传送门

Solution

首先考虑转化题意，以下用\(scc\)指代强连通分量

活动的每一步相同于：如果\(y,z\)在同一个\(scc\)中，\(x\)向\(y\)有连边，那么\(x\)就可以向\(z\)连边。

也就是说，对于一个\(scc\)，如果\(x\)向\(scc\)中连了一条边，那么\(x\)就可以在活动后向\(scc\)中的任何一个点连边。

那么分别考虑每个\(scc\)的贡献就是内部的贡献\(siz(siz-1)+\)向\(scc\)连了边的点的贡献\(siz\cdot x\)，其中\(x\)时向该\(scc\)连边的点的数量。

于是，对于每一个\(scc\)开一个\(set\) \(pt[i]\)维护内部的点，一个\(set\) \(in[i]\)维护向该\(scc\)连边的点。

对于加入的每一条边\((x,y)\)：

\(1.\)\((x,y)\)在同一个\(scc\)中：直接跳过

\(2.\)如果\(y\)所在\(scc\)本来就向\(x\)所在\(scc\)连了边，那么需要合并这两个\(scc\)

\(3.\)否则，直接在\(in[y]\)中加入\(x\)

为了判断是否可以合并\(scc\)，还需要额外维护两个\(set\)：\(ins[s]\)和\(outs[s]\)表示向\(s\)连边的\(scc\)以及\(s\)连出去的\(scc\)，合并时使用启发式合并，依次考虑每一个\(set\)即可

注意到合并后可能还会导致新的需要合并的\(scc\)，于是开一个·队列先后合并即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
typedef long long ll;
int n,m,fa[N];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
set<int> pt[N];//点
set<int> ins[N];//连入的强连通分量
set<int> outs[N];//连出的强连通分量 
set<int> in[N];//连入的点 
inline ll calc(int x){
	return 1ll*pt[x].size()*(pt[x].size()-1+in[x].size());
}
typedef pair<int,int> pii;
#define mp make_pair 
#define it set<int>::iterator
ll ans=0,ret=0;
queue<pii>q;
inline void merge(int x,int y){
	int fx=find(x),fy=find(y);
	if(fx==fy) return ;
	ans-=calc(fx)+calc(fy);
	if(pt[fx].size()>pt[fy].size()) swap(fx,fy),swap(x,y);
	fa[fx]=fy;
	if(ins[fx].count(fy)) ins[fx].erase(fy),outs[fy].erase(fx);
	if(outs[fx].count(fy)) outs[fx].erase(fy),ins[fy].erase(fx);
	for(it i=pt[fx].begin();i!=pt[fx].end();i++){
		int s=*i;
		if(in[fy].count(s)) in[fy].erase(s);
		pt[fy].insert(*i);
	}
	for(it i=ins[fx].begin();i!=ins[fx].end();i++){
		int s=*i;
		if(outs[fy].count(s)) q.push(mp(s,fy));
		else ins[fy].insert(s);outs[s].erase(fx);outs[s].insert(fy);
	} 
	for(it i=outs[fx].begin();i!=outs[fx].end();i++){
		int s=*i;
		if(ins[fy].count(s)) q.push(mp(s,fy));
		else outs[fy].insert(s);ins[s].erase(fx);ins[s].insert(fy);
	}
	for(it i=in[fx].begin();i!=in[fx].end();i++)
		if(!pt[fy].count(*i)) in[fy].insert(*i);
	ans+=calc(fy);
}
inline void work(int x,int y){
	q.push(mp(x,y));
	while(!q.empty())
		merge(q.front().first,q.front().second),q.pop();
}
int main(){	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i,pt[i].insert(i);
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=calc(i);
	for(int i=1,a,b;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		int fx=find(a),fy=find(b);
		if(fx==fy){
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		if(ins[fx].count(fy)) work(a,b);
		else{
			ans-=calc(fy);
			ins[fy].insert(fx);	outs[fx].insert(fy);
			in[fy].insert(a);
			ans+=calc(fy);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	} 
	return 0;
}