算法第2章实践报告

算法第2章实践报告

实践报告

实践题目名称

7-2 二分法求函数的零点

问题描述

算法描述

利用二分法求函数零点的思想，当函数在区间内两端点分别大于0，小于0，则可以求两端点的中点对应的函数值与0比较，大于0则重新划分区间为中点到小于0的端点，小于0则划分区间为大于0的端点到中点，不断重复这个过程，逼近零点，直到得到零点。

本题中，题目说明了f(1.5)>0，f(2.4)<0，则以1.5和2.4为左右端点left和right，编写递归算法，先求中点值 mid = (left + right) / 2，再代入函数，若函数值大于0，则零点在mid的左边，要把mid设为左端点，在[mid,right]继续递归，小于0同理，把mid设为右端点，在[left,mid]继续递归，直到找出零点。

需要注意的是，由于计算机浮点数计算精度有误差，当绝对值小于1e-7时，认为值等于0，所以当 fabs(f(mid)) < 1e-7 时，即可结束递归。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double f(double x) {
	return pow(x, 5) - 15*pow(x, 4) + 85*pow(x, 3) - 225*pow(x, 2) + 274*x - 121;
}

double solve(double left, double right){
	double mid = (left + right) / 2;
	if(fabs(f(mid)) < 1e-7)
		return mid;
	if(f(mid) > 0)
		return solve(mid, right);
	else
		return solve(left, mid);
	
}

int main(){
	double root;
	root = solve(1.5, 2.4);
	cout << fixed << setprecision(6) << root;
	return 0;
}

算法时间及空间复杂度分析

• 时间复杂度

  子问题规模为 n/2

  划分子问题操作为与0比较和取中值，时间复杂度为O(1)

  所以T(n) = T(n/2) + O(1)

  由主定理得时间复杂度为O(logN)

• 空间复杂度

  由于没有用辅助空间，所以空间复杂度为O(1)

心得体会

• 要注意浮点数精度的问题，在进行浮点数值比较和判断时，接近一个极小的数（如本题的1e-7）即可认为数值有效
• 要注意一些利用二分算法解题的描述，如和中点有关，划分范围有关等问题，可以考虑用二分法求解

分治法的个人体会和思考

• 在遇到一些复杂的算法问题时，分治思想十分重要，将复杂庞大的问题拆分成一个个简单独立的子问题，解决简单的小问题，再一步步向上，把子问题合并，最终把复杂的问题解决。分治法不仅能有效地帮助我们解决问题，还能提高效率。不仅在面对算法问题上，生活中的问题我们也能利用分治思想逐步解决。

• 分治法要注意子问题的拆分方式，因题而异，不能每个问题都是取中值两边或者按照代码模板拼凑。