AtCoder Beginner Contest 306(ABC 306) E~F补题

E

题目大意

给定数字$k$，规定数组 \(A\) 的函数 \(f(A)\) ：\(A\) 数组前 \(k\) 大数字的和

• 如 \(A=[1,~3,~7,~4]\) ，\(k=2\) ，则 \(f(A)=7+4=11\)

现在给定最大数组长度 \(n\) ，有 \(q\) 组操作，每次将第 \(x\) 个数字修改为 \(y\) ，输出每次操作后的 \(f(A)\)

其中 \(0<k \leq n \leq 5\times 10^5,~q\leq 5\times 10^5, ~y\leq 10^9\)

思路

考虑用一个小根堆 \(X\) 和一个大根堆 \(Y\)，小根堆 \(X\) 里放 \(A\) 数组内前 \(k\) 大的数字，大根堆 \(Y\) 里放剩下的数字。每次修改后判断：

• 若 \(A[x]\) 没被修改过，则在 \(Y\) 内插入 \(y\) ，并记录 \(A[x] = y\)
• 若 \(A[x]\) 被修改过，则先在 \(X\) 和 \(Y\) 中删掉 \(A[x]\) ，再在 \(Y\) 中插入 \(y\)

然后执行平衡操作：判断大根堆 \(Y\) 内最大的数字是否比小根堆 \(X\) 内最小的数字大，如果是，交换两个数字

Code: https://atcoder.jp/contests/abc306/submissions/42763724

F

题目大意

对于两个有序集合 \(A,B\) ，令有序集合 \(C=A\cup B\) ，规定 \(f(A,B)=\sum_{i=1}^{|A|} k_i\) ，其中 \(k_i\) 是 \(A[i]\) 在 \(C\) 内的位置

现在给出 \(n\) 个大小为 \(m\) 的集合 \(S_1,S_2,\cdots,S_n\) ，求 $ \sum_{1\leq i < j \leq n} f(S_i,S_j)$

其中 \(n \leq 10^4,~m \leq 10^2, ~A_{i,j} \leq 10^9\) , 保证 \(S_i \cap S_j = \emptyset\)

思路

我的思路跟题解不太一样

现将所有数字一起排序，记为集合 \(S\) 。并将每一个给定集合 \(S_i\) 排序，然后考虑 \(A_{i,j}\) 的贡献：

\(A_{i,j}\) 的贡献是： \(S\) 比它小的数字的数量 + 它在 \(S_i\) 中的位置 \(\times\) \(S_i\) 作为 \(A\) 而非 \(B\) 的次数

也就是：\(S\) 比它小的数字的数量 + 它在 \(S_i\) 中的位置 \(\times (n-i)\)

为了避免重复计算，当考虑过 \(A_{i,j}\) 后需要将它从集合 \(S\) 中删掉。

为了在 \(O(NlogN)\) 的复杂度内处理 \(S\) ，考虑离散化 \(A_{i,j}\) + 二叉索引树（Fenwick Tree）

Code: https://atcoder.jp/contests/abc306/submissions/42777281