2026.2.2校队集训笔记
参考文献：图论
定义
- 基本定义：图、阶、有向图、无向图、重边、自环。
- 相邻：相邻、邻域、邻边、出入边、度数，出入度
- 路径：途径、迹、回路、路径、环
- 联通：联通、强弱联通、强弱连通图、点双，边x双
- 特殊图：简单图、基图、有向无环图、完全图、树、稀疏稠密图
- 子图：子图、生成子图、导出子图，极大子图
DAG
topo sort
比较简单，每次删去一个没有入度的点，同时删去和这个点联通的边，然后再观察图中有没有没有入度的点就好了。
能被 \(topo \ sort\) 的图，被叫为 \(DAG\)。但有的时候一张图的 \(topo\) 序不止一个，叫做偏序。
欧拉路径/欧拉回路
判定
判定欧拉回路：有向图的话入度都要等于出度，无向图的话是度数要是偶数。
判定欧拉路径：有向图的话除了起始点入度比出度少一，终点的入度比出度多一，无向图是只有起始点和终点的度数是奇数，剩下的是偶数。
所有前提条件都是要图联通！！
求解
直接 \(dfs\) ：对于有向图，对于一个点，如果这个点有出度，随便找到一个出边，先走过去，然后删掉这条边。对于无向图而言，直接随机选择一条边，走过去删掉即可。
两个的 \(dfs\) 都可以用类网络流的当前弧优化！！
特殊题型
混合图的欧拉路径
可以先给无向边定向，然后再跑欧拉路径，但是这样枚举的时间复杂太大了，不能手动给每一条边定向。
观察本质，对吼定向完之后应该是每一个点的出度要等于入度，只有起点和终点一个少了一个入度，一个多了一个入度，如果把度比作流把入度比作流入，把出度比作流出，这就是经典的最大流，直接跑就好了。
最短路
Bellman-Ford
松弛 \(n\) 轮，每轮把 \(m\) 条边松弛一边，可以证明，这样子松弛完之后就是最短路，时间复杂度 \(O(nm)\)。
以下是证明：
松弛的本质是一个点的最短路由另一个点的最短路扩展而来，一轮松弛可以更新一个点的最短路，两点之间的最短路一定最多只有 \(n-1\) 条边，所以更新 \(O(n)\) 轮就可以得到最短路。
SPFA
用队列优化 \(Bellman-Ford\) 的松弛过程，每次松弛最劣的最短路，理想时间复杂度是 \(O(n)\) ，但实际上极易被卡，会退化成 \(O(nm)\)，所以很多选手都不会被使用。
这个算法的优点是可以用来判负环。
dijkstra
这个就不用说了，时间复杂度是 \(O(mlogm)\) 的，当稀疏图时，用优先队列优化，当是稠密图时，用暴力替代优先队列，时间复杂度变为 \(O(m)\)。
优化
当只有 \(01\) 边权的时候，可以把优先队列改成双端队列，如果松弛完之后是 \(0\) 就放队首，\(1\) 放队尾，可以优化掉优先队列的一只 \(log\)。
floyd
本质上是 \(dp\), 其他的最短路基本上本质都是贪心，这是他们之间比较大的区别。
时间复杂度 \(O(n^3)\) ，没人不会吧，由于他的 \(dp\) 特性，它可以求一些其他的特殊最短路问题
传递闭包
这跟 \(floyd\) 的 \(dp\) 特性没有一点关系，他是直接基于 \(floyd\) 加上 \(bitset\) 优化的，用于求两点之间的连通性，这个可以用 \(bitset\) 优化一下，时间复杂度就变成了 \(O(\frac{n^3}{w})\)。在赛场上这个 \(w = 8\) 有着关键的常数作用。
平面图最小割
- 平面图：可以通过不相交的直线和曲线画出来的图。
- 网格图：形成一个网格的平面图称为 网格图。
- 最小割： 断开一些边，使得起点和终点的被分开，这些被割开的边的权值和的最小值。
- 对偶图：如图，对偶图为平面图中的每一个面都有一个点（这里是红点），对于原图中的相邻两个面，作一条连接这两个面的红点的，只与这两个面边界相交的曲线（注意，两个面之间如果有两条边界，那么，要有两条新建的边）。
平面图最小割定理：平面图的最小割等于所对应的对偶图的最短路。
最小生成树
定义
生成树：点集为原图点集，边集为原图子集做形成的树（注意要是树！！）
最小生成树：生成出来的权值和最小的生成树。
Prim/kruskal
两个都是贪心思想，每次寻找能扩大连通块的最小权值的边，然后加入，再维护连通块即可。
两个算法不同的是，一个是合并若干个连通块，一个是不断往一个连通块里加新的点。
Boruvka
要先知道一个问题，在最小生成树上的任意一点，有一端是这个点的边权最小的边一定在最小生成树上，如果没有在最小生成树上，就加进去，然后会有一个有这个点的环，再删掉那条边权比较大的有一端是这个点的边，这时候生成树一定会更小。
这个算法就运用了这个性质：维护对于每个点，求出边权最小的邻边。将这些边删去后加入最小生成树，然后再将那个边权比较大的环上的边去掉，在合并连通块的同时保证边权最小，而且每次会删掉 \(O(\frac{n}{2})\) 的边，加入了 \(O(n)\) 的边，整体上在先前若干个连通块之间加上了 \(O(\frac{n}{2})\) 的边，连通块数量会严格减半，所以最多会有 \(O(long_2n)\) 次操作，时间复杂度很优。
注意在选择边权最小的边时，不能选择两端已经在同一连通块的边：
- 对每个点，选择一端为该点，另一端和它不在同一连通块的权值最小的边。
- 对每个连通块，选择一端在该连通块，另一端不在该连通块的权值最小的边。
连通分量
定义
- 割点：在无向图中，删去后使得连通分量数增加的点称为 割点。
- 割边：在无向图中，删去后使得连通分量数增加的边称为 割边，也称 桥。
- 点双连通图：不存在割点的无向连通图称为 点双连通图。根据割点的定义，孤立点和孤立边均为点双连通图。
- 边双连通图：不存在割边的无向连通图称为 边双连通图。根据割边的定义，孤立点是边双连通图，但孤立边不是。
- 点双连通分量：一张图的极大点双连通子图称为 点双连通分量（V-BCC），简称 点双。
- 边双连通分量：一张图的极大边双连通子图称为 边双连通分量（E-BCC），简称 边双。
- 点双连通：若
处于同一个点双连通分量，则称
点双连通。一个点和它自身点双连通。由一条边直接相连的两点也是点双连通的。 - 边双连通：若
处于同一个边双连通分量，则称
边双连通。一个点和它自身边双连通，但由一条边直接相连的两点不一定边双连通。
边双性质
- 两点之间任意一条迹上的所有割边，就是两点之间的所有必经边。
- 若 \(a\) 和 \(b\) 边双连通，\(b\) 和 \(c\) 边双连通，则 \(a\) 和 \(c\) 边双连通。
- \(u,v\) 边双连通当且仅当 \(u,v\) 之间没有必经边。
- 对于边双内任意一条边 \(u,v\)，存在经过 \(u,v\) 的回路。
- 对于边双内任意一点 \(u\)，存在经过 \(u\) 的回路。
点双性质
- 错误结论：两点之间任意一条路径上的所有割点，就是两点之间的所有必经点。
- 若两点双有交，那么交点一定是割点。
- 一个点是割点当且仅当它属于超过一个点双。
- 由一条边直接相连的两点点双连通。
- 一条边恰属于一个点双
tarjan
没啥好说的，记模板，过
瓶颈生成树/最小瓶颈路
这两个只要知道是什么意思就好了。
一个是这棵生成树上的最大边权最小，一个是这条路径上的最大边权最小。
最小生成树一定是瓶颈生成树，最短路一定是瓶颈最短路。
这就是一整个上午的所有内容，习题在上面的那个链接里。
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