slope trick 学习笔记

首先，请注意 \(Slope Trick\) 可不是斜率优化，是一种通过维护斜率序列的优化，它是有一定范围限制的：

• 连续。
• 是分段一次函数。
• 是凸函数。
• 每一段的斜率较小（通常为 \(O(n)\)），且均为整数。

我们发现如果此上类型的函数相加之后还是上面的一种函数。

它通常用来维护 \(DP\)，维护满足以上条件的函数的斜率加减来将函数平移，翻转，相加， 取前缀/后缀 \(min\), 求 \(min,argmin\)， 维护方法如下：

可以先维护在某个 \(x_0\) 处的 \(f(x_0)\),\(k_0\) 以及函数每个斜率变化点的集合。具体地，如果函数在 \(x\) 位置斜率增加了 \(\Delta_k\)，就在集合中插入 \(\Delta_k\) 个 \(x\)。

对于相加：将 \(f(x_0)\),\(k_0\) 直接相加，斜率变化点的集合直接合并。常用于加一次函数、绝对值函数。
对于取前缀/后缀 \(min\)：去掉 \(k >0\ or\ k < 0\) 的部分。
对于求 \(min,argmin\)： 提取 \(k = 0\) 的部分
对于平移：维护 \(f(x_0)\),\(k_0\) 的变化,斜率变化点在全局打平移标记。
对于翻转：维护 \(f(x_0)\),\(k_0\) 的变化,斜率变化点在全局打翻转标记。

例题

# P4597 序列 sequence 以及 # CF13C Sequence，# CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend，# P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G 其实是一道题啦。

先让我去打一下，还没打QwQ

嗨嗨嗨，打完啦，其实就是一道题。。。

由于数据范围问题，我们只讲# P4597 序列 sequence 以及 # CF13C Sequence，# CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend

我们先考虑朴素的方法， 定义 \(f_{i,j}\) 为考虑 \(1 ~i\) 能满足是非降数列且最后一个数是 \(j\) 的最小花费。
则有 \(f_{i,j} = \min_{k \le j}\{f_{i-1,k} + |j - a_i|\}\) ,但是这是过不去的， ~但是# P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G 是能过滴~。注意到只要设 \(g_i(j) = f_{i,j}\) 发现这 \(g_i\) 是满足 \(Slope Trick\) 的函数的条件！用因为 \(g_i\) 就是 \(g_{i - 1}\) 先取前缀再取 \(\min\) 得到的，显然用 \(Slope Trick\)呀！就做完了，按上面做就行了！

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
int a[N];
priority_queue<int> heap;
int ans;

signed main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cin >> a[i];
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        if(heap.size() == 0)
        {
            heap.push(a[i]);
            continue;
        }
        if(heap.top() > a[i])
        {
            ans += (heap.top() - a[i]);
            heap.pop();
            heap.push(a[i]);
        }
        heap.push(a[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

其实还有两道例题的，但是它是 # P3642 [APIO2016] 烟花表演 和# CF1787H Codeforces Scoreboard有点难慢慢啃 \(QwQ\).