Link-Cut-Tree 学习笔记

LCT学习笔记

和树链剖分比较相似，但是它的时间复杂度是 \(O(nlogn)\), 树链剖分是 \(O(nlogn^2)\)

维护一个森林，可以支持以下操作

求联通两点 \(x\), \(y\) 的路径上的所有点的某一求值(eg.\(xor\))
将不联通的 \(x\), \(y\) 之间增加一条边
删除存在的 \((x,y)\) 这条边
将 \(x\) 的权值改为 \(w\)

定义

每个点最多只有一条边是连向儿子的实边，剩下的是虚边。

维护

用 \(splay\) 维护所有的实边路径，用 \(splay\) 中的后继和前驱来维护原树中的父子关系
用 \(splay\) 的根节点来维护虚边

判断是否是虚边，就看自己的 \(splay\) 有没有指向父亲所在的 \(splay\) 即可，就是如果 \(u\) 的前驱是\(fa_u\)，但 \(fa_u\) 的后继不是 \(u\)，则 \((u, fa_u)\) 就是虚边，反之就是实边。

操作

就是只有 7 个函数而已

\(access(x)\), 将根节点到 \(x\) 的路径变成实边，将其他的与其矛盾的边变成虚边
实现：先将 \(x\) 设为这的 \(splay\) 的根节点，然后找到它这棵 \(splay\) 的父节点不妨设为 \(y\),将 \(y\) 设为 \(y\) 所在实链的 \(splay\) 的根节点，再将 \(x\) 设为 \(y\) 的后继就好了(这只要将 \(x\) 的 \(splay\) 插到 \(y\) 的右子树即可)，此时这条虚边已经变成了实边，\(splay\) 的根节点就是 \(y\),以此类推，这条链就维护好了
\(makeroot(x)\) 将 \(x\) 设为根节点，还会将 \(x\) 设为 \(x\) 所在的实链的 \(splay\) 的根节点。
实现先建立一条 \(x\) 向根节点的实路径，再将 \(x\) 设为这条实边的 \(splay\) 的根节点，再将 \((root,x)\) 翻转。
\(findroot(x)\) 找到 \(x\) 所在树的根节点，还会将 \(y\) 所在树的根节点旋转到 \(y\) 所在 \(splay\) 的根节点。
实现：先将 \(x\) 向 \(root\) 的路径设为实路径，再将 \(x\) 设为 \(root\),然后根节点不断往左走直到不能走，这就是之前的根节点
\(spilt(x,y)\):将 \(x\) 到 \(y\) 的路径设为实边路径
实现：将 \(x\) 变成根节点，然后将 \(y\) 向根节点的路径设为实边
\(link(x,y)\):如果 \(x,y\) 不连通，则加入 \(x,y\) 这条边
实现：是否连通：将 \(x\) 设为这棵树的根节点，再 \(findroot(y)\) 看一下是不是 \(x\) 即可；连边：因为 \(makeroot(x)\) 有一个附属的功能：将 \(x\) 所在的实链的 \(splay\) 的根节点设为 \(x\),所以只要让 \(x\) 的父节点设为 \(y\) 即可。
\(cnt(x,y)\) 如果 \(x, y\) 连通，就将 \((x,y)\) 删除
实现:是否连通：将 \(x\) 设为这棵树的根节点，再 \(findroot(y)\) 是不是 \(y\),并且 \(y\) 是 \(x\) 的后继；删边：将 \(x\) 的后继设为空即可
\(isroot(x)\) 判断 \(x\) 是否是 \(x\) 所在的 \(splay\) 的根节点
实现:其实就是看一下 \(x\) 有没有父亲即可，如果有，那 \(x\) 一定是他父亲的左儿子，或者是右儿子，如果都不是，它就一定是这棵 \(splay\) 的根节点
代码

void access(int x) 
{
    int z = x;
    for (int y = 0; x; y = x, x = tr[x].p)
    {
        splay(x);
        tr[x].s[1] = y, pushup(x);
    }
    splay(z);
}

void makeroot(int x) 
{
    access(x);
    pushrev(x);
}

int findroot(int x) 
{
    access(x);
    while (tr[x].s[0]) pushdown(x), x = tr[x].s[0];
    splay(x);
    return x;
}

void split(int x, int y) 
{
    makeroot(x);
    access(y);
}

void link(int x, int y)
{
    makeroot(x);
    if (findroot(y) != x) tr[x].p = y;
}

void cut(int x, int y)
{
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x && tr[y].p == x && !tr[y].s[0])
    {
        tr[x].s[1] = tr[y].p = 0;
        pushup(x);
    }
}

维护信息就用 \(splay\) 来维护就好了！

以 \(xor\) 为例， \(splay\) 函数如下：

void pushrev(int x)
{
    swap(tr[x].s[0], tr[x].s[1]);
    tr[x].rev ^= 1;
}

void pushup(int x)
{
    tr[x].sum = tr[tr[x].s[0]].sum ^ tr[x].v ^ tr[tr[x].s[1]].sum;
}

void pushdown(int x)
{
    if (tr[x].rev)
    {
        pushrev(tr[x].s[0]), pushrev(tr[x].s[1]);
        tr[x].rev = 0;
    }
}

void rotate(int x)
{
    int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
    int k = tr[y].s[1] == x;
    if (!isroot(y)) tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x;
    tr[x].p = z;
    tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
    tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
    pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int x)
{
    int top = 0, r = x;
    stk[ ++ top] = r;
    while (!isroot(r)) stk[ ++ top] = r = tr[r].p;
    while (top) pushdown(stk[top -- ]);
    while (!isroot(x))
    {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (!isroot(y))
            if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
            else rotate(y);
        rotate(x);
    }
}

例题:
2539. 动态树

按照上面的分析，就可以做了，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
struct Node
{
    int s[2], p, v;
    int sum, rev;
}tr[N];
int stk[N];

void pushrev(int x)
{
    swap(tr[x].s[0], tr[x].s[1]);
    tr[x].rev ^= 1;
}

void pushup(int x)
{
    tr[x].sum = tr[tr[x].s[0]].sum ^ tr[x].v ^ tr[tr[x].s[1]].sum;
}

void pushdown(int x)
{
    if (tr[x].rev)
    {
        pushrev(tr[x].s[0]), pushrev(tr[x].s[1]);
        tr[x].rev = 0;
    }
}

bool isroot(int x)
{
    return tr[tr[x].p].s[0] != x && tr[tr[x].p].s[1] != x;
}

void rotate(int x)
{
    int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
    int k = tr[y].s[1] == x;
    if (!isroot(y)) tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x;
    tr[x].p = z;
    tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
    tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
    pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int x)
{
    int top = 0, r = x;
    stk[ ++ top] = r;
    while(!isroot(r)) stk[ ++ top] = r = tr[r].p;
    while(top) pushdown(stk[top -- ]);
    while(!isroot(x))
    {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (!isroot(y))
            if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
            else rotate(y);
        rotate(x);
    }
}

void access(int x) 
{
    int z = x;
    for(int y = 0 ; x ; y = x, x = tr[x].p)
    {
        splay(x);
        tr[x].s[1] = y;
        pushup(x);
    }
    splay(z);
}

void makeroot(int x)
{
    access(x);
    pushrev(x);
}

int findroot(int x)
{
    access(x);
    while (tr[x].s[0]) pushdown(x), x = tr[x].s[0];
    splay(x);
    return x;
}

void split(int x, int y) 
{
    makeroot(x);
    access(y);
}

void link(int x, int y) 
{
    makeroot(x);
    if (findroot(y) != x) tr[x].p = y;
}

void cut(int x, int y) 
{
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x && tr[y].p == x && !tr[y].s[0])
    {
        tr[x].s[1] = tr[y].p = 0;
        pushup(x);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &tr[i].v);
    while(m -- )
    {
        int t, x, y;
        scanf("%d%d%d", &t, &x, &y);
        if(t == 0)
        {
            split(x, y);
            printf("%d\n", tr[y].sum);
        }
        else if(t == 1) link(x, y);
        else if(t == 2) cut(x, y);
        else
        {
            splay(x);
            tr[x].v = y;
            pushup(x);
        }
    }

    return 0;
}

题单

LCT

posted @ 2025-06-04 15:00 tony0530 阅读(44) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

tony0530 的小窝

欢迎常来！

Link-Cut-Tree 学习笔记

LCT学习笔记

定义

维护

操作

就是只有 7 个函数而已

题单

公告