博弈问题

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博弈问题，也称为俩海盗分宝⽯，俩⼈拿硬币的问题，其解法也是动态规划
dp数组的含义：
dp[i][j].fir 表⽰，对于 piles[i...j] 这部分⽯头堆，先⼿能获得的最⾼分数。
dp[i][j].sec 表⽰，对于 piles[i...j] 这部分⽯头堆，后⼿能获得的最⾼分数。
举例理解⼀下，假设 piles = [3, 9, 1, 2]，索引从 0 开始
dp[0][1].fir = 9 意味着：⾯对⽯头堆 [3, 9]，先⼿最终能够获得 9 分。
dp[1][3].sec = 2 意味着：⾯对⽯头堆 [9, 1, 2]，后⼿最终能够获得 2 分。

dp数组的转移方程：
dp[i][j].fir = max(piles[i] + dp[i+1][j].sec, piles[j] + dp[i][j-1].sec)
dp[i][j].fir = max( 选择最左边的⽯头堆 , 选择最右边的⽯头堆 )
# 解释：我作为先⼿，⾯对 piles[i...j] 时，有两种选择：
# 要么我选择最左边的那⼀堆⽯头，然后⾯对 piles[i+1...j]但是此时轮到对⽅，相当于我变成了后⼿；
# 要么我选择最右边的那⼀堆⽯头，然后⾯对 piles[i...j-1]但是此时轮到对⽅，相当于我变成了后⼿。
if 先⼿选择左边:
dp[i][j].sec = dp[i+1][j].fir
if 先⼿选择右边:
dp[i][j].sec = dp[i][j-1].fir
# 解释：我作为后⼿，要等先⼿先选择，有两种情况：
# 如果先⼿选择了最左边那堆，给我剩下了 piles[i+1...j]
# 此时轮到我，我变成了先⼿；
# 如果先⼿选择了最右边那堆，给我剩下了 piles[i...j-1]
# 此时轮到我，我变成了先⼿。

dp的base case:
当i==j时：
dp[i][j].fir = piles[i]
dp[i][j].second = 0
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class Pair(object):
    def __init__(self, fir, sec):
        self.fir = fir
        self.sec = sec


def stone_game(piles):
    n = len(piles)
    dp = [[Pair(0,0) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i].fir = piles[i] #base case
        dp[i][i].sec = 0 #base case
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i + 1, n):
            #状态转移方程
            left = piles[i] + dp[i + 1][j].sec
            right = piles[j] + dp[i][j - 1].sec
            if left > right:
                dp[i][j].fir = left
                dp[i][j].sec = dp[i + 1][j].fir
            else:
                dp[i][j].fir = right
                dp[i][j].sec = dp[i][j-1].fir
    res = dp[0][n - 1]
    return res.fir - res.sec