股票收益——动态规划系列

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股票收益问题是一种典型的动态规划问题，其状态主要由：1）股票交易的时间；2）股票可交易的次数；3）股票当前的状态【买入、卖出及不变】组成， 例如：
dp[3][2][1]的含义就是：今天是第三天，我现在⼿上持有着股票，⾄今最多进⾏ 2 次交易。再⽐如 dp[2][3][0] 的含义：今天是第⼆天，
我现在⼿上没有持有股票，⾄今最多进⾏ 3 次交易。
在解题过程中，通过题意，其涉及的状态都是由上面三种进行组合。 【dp的定义】
其中状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) #max( 选择 rest , 选择 sell )
解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) #max( 选择 rest , 选择 buy )
解释：今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。
基本的base case为：
dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，⽤负⽆穷表⽰这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，⽤负⽆穷表⽰这种不可能。
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问题1. k=1的类似问题
解题思路：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) 
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) # 由于dp[i][0][0] = 0
k相同，所以简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) 
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],  - prices[i]) 
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def max_profile_on_k_1(list_num):
    n = len(list_num)
    dp = [[0 for _ in range(2)] for _ in range(n)] #dp[i][0]/dp[i][1]
    for i in range(n):
        if i == 0:
            dp[i][0] = 0 #base case
            dp[i][1] = -list_num[i] #base case
        dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+list_num[i]) #状态转移方程
        dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -list_num[i]) #状态转移方程
    return dp[n-1][0]

#状态压缩
def max_profile_on_k_1_v2(list_num):
    n = len(list_num)
    dp_i_0 = 0
    dp_i_1 = -float('inf')
    for i in range(n):
        dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+list_num[i]) #状态转移方程
        dp_i_1 = max(dp_i_1, -list_num[i]) #状态转移方程
    return dp_i_0

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问题2. k=indentity的类似问题 k无穷大，可以交易无数次
解题思路：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) 
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) 
如果k为正⽆穷，那么就可以认为 k 和 k - 1 是⼀样所以简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) 
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],  dp[i-1][0]- prices[i]) 
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def max_profile_on_k_indentity(list_num):
    n = len(list_num)
    dp = [[0 for _ in range(2)] for i in range(n)]
    for i in range(n):
        if i == 0:
            dp[i][0] = 0
            dp[i][1] = -list_num[i]
        dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + list_num[i])
        dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-list_num[i])
    return dp[n-1][0]

def max_profile_on_k_indentity_v2(list_num):
    n = len(list_num)
    dp_i_0 = 0
    dp_i_1 = -float('inf')
    for i in range(n):
        temp = dp_i_0
        dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1 + list_num[i])
        dp_i_1 = max(dp_i_1, temp - list_num[i])
    return dp_i_0

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问题3. k = +infinity with cooldown 每次sell之后要等⼀天才能继续交易。
解题思路：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) 
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) 
如果k为正⽆穷，那么就可以认为 k 和 k - 1 是⼀样所以简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) 
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],  dp[i-2][0]- prices[i]) #第i天选择buy的时候，要从 i-2 的状态转移，⽽不是 i-1
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def maxProfit_with_cool(prices):
    n = len(prices)
    dp_i_0 = 0
    dp_i_1 = -float('inf')
    dp_pre_0 = 0
    for i in range(n):
        temp = dp_i_0
        dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i])
        dp_i_1 = max(dp_i_1, dp_pre_0 - prices[i])
        dp_pre_0 = temp
    return dp_i_0

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问题4. k = +infinity with fee 每次交易要⽀付⼿续费，只要把⼿续费从利润中减去即可
解题思路：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) 
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) 
如果k为正⽆穷，那么就可以认为 k 和 k - 1 是⼀样所以简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) 
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],  dp[i-1][0]- prices[i] - fee) #把⼿续费从利润中减去即可
"""
def max_profit_with_fee(list_num, fee):
    n = len(list_num)
    dp_i_0 = 0
    dp_i_1 = -float('inf')
    for i in range(n):
        temp = dp_i_0
        dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1 + list_num[i])
        dp_i_1 = max(dp_i_1, temp - list_num[i] - fee) #把⼿续费从利润中减去即可
    return dp_i_0

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问题5 k=2
"""
def max_profit_k_2(prices):
    dp_i10 = 0
    dp_i11 = -float('inf')
    dp_i20 = 0
    dp_i21 = -float('inf')
    for price in prices:
        dp_i20 = max(dp_i20, dp_i21 + price)
        dp_i21 = max(dp_i21, dp_i10 - price)
        dp_i10 = max(dp_i10, dp_i11 + price)
        dp_i11 = max(dp_i11, -price)

    return dp_i20

"""
问题6： k=6
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def max_profit_k_any(max_k, prices):
    n = len(prices)
    if max_k > n / 2:
        """
        ⼀次交易由买⼊和卖出构成，⾄少需要两天。所以说有效的限制 k 应该不超
        过 n/2，如果超过，就没有约束作⽤了，相当于 k = +infinity。
        """
        return max_profile_on_k_indentity_v2(prices)
    dp = [[[[0 for _ in range(2)] for _ in range(max_k + 1)] for _ in range(n)]]
    for i in range(n):
        for k in range(max_k, 0, -1):
            if i == 0:
                pass
            dp[i][k][0] = max(dp[i - 1][k][0], dp[i - 1][k][1] + prices[i])
            dp[i][k][1] = max(dp[i - 1][k][1], dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])
    return dp[n - 1][max_k][0]