878. 线性同余方程

\(a*x \equiv b \ (mod \ m)\)

即存在\(y\)

使得\(a*x = m * y + b\)

即\(a*x -m*y=b\)

令\(y'= -y\)

有\(a*x + m*y'=b\)

\(a*x \equiv b \ (mod \ m)\)有解等价于\(a*x + m*y'=b\)有解

联想扩展欧几里得算法，若方程\(a*x + m*y'=b\)有解，那么b一定是\((a, m)\)的倍数，若不是，方程一定无解。

可以先用扩展欧几里得求出使得\(a*p + m*q= (a, m)\)的系数\(p, q\)，那么求出\(x, y'\)只需要将\(p, q\)扩大\(b/(a, m)\)即可。

给定n组数据ai,bi,mi，对于每组数求出一个xi，使其满足ai∗xi≡bi(mod mi)，如果无解则输出impossible。

#include<iostream>
using namespace std;

#define LL long long

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;

    return d;
}

int main(){
    int T;

    cin >> T;
    while(T --){
        int a, b, m;
        cin >> a >> b >> m;
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y); 
        
        if(b % d) puts("impossible");
        else printf("%ld\n", (LL) x * (b / d) % m);
    }

    return 0;
}