题解「CF1436F Sum Over Subsets」

题意

一个多重集 \(S\)，有 \(m\) 种不同的数，第 \(i\) 种数为 \(a_i\)，有 \(freq_i\) 个。

求满足如下条件的和式 \(\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}xy\) 的值：

• \(B\subset A\)
• \(|B|=|A|-1\)
• \(\gcd_{x\in A}\{x\}=1\)

注意，其中 \(A,B\) 也为多重集。

\(\texttt{Data Range:}a_i,m\leq10^5,freq_i\leq10^9\)

分析

设 \(g_i\) 为 \(\gcd_{x\in A}\{x\}=i\) 的答案，那么最终所求为 \(g_1\)。

但是直接求不太方便，我们用一个套路 \(\text{trick}\)，设 \(f_i\) 为 \(\sum_{i|j} g_j\) 的值。那么通过 \(\text{Mobius}\) 反演可以得到 \(g_1=\sum_{i} f_i\mu(i)\)。于是我们现在只需要求出 \(\gcd_{x\in A}\) 是 \(i\) 的倍数的答案。

枚举 \(i\) ，对于 \(\gcd\) 是 \(i\) 的倍数的数分类。设 \(i\) 的倍数构成的集合为 \(S_i\)。计算同一类中的贡献，设在和式中 \(A\) 取出的是 \(x\)，\(B\) 取出的是 \(y\)，有：

• 当 \(x,y\) 是 同一个数 时，贡献式为：

  \[x^2\times(|S_i|-1)\times2^{|S_i|-2}\times freq_x \]

• 当 \(x,y\) 具有相同数值但 并不是同一个数 时，贡献式为：

  \[x^2\times\left((|S_i|-2)\times2^{|S_i|-3}+2^{|S_i|-2}\right)\times C_{freq_i}^2 \]

• 当 \(x,y\) 数值不同 时：

  \[xy\times\left((|S_i|-2)\times2^{|S_i|-3}+2^{|S_i|-2}\right)\times freq_x\times freq_y \]

通过枚举哪一个数在 \(B\) 中不被包含来包含所有情况，非常巧妙。

对于第三个柿子，我们不可能枚举所有 \(x,y\)。因此需要另辟蹊径。发现提取无关项出来后，一个前缀和就可以解决了。

枚举数值使用调和级数的 \(\text{trick}\) 即可。总时间复杂度为 \(O(n \ln n+n\log_2 (\sum_i freq_i))\)。