树论相关

树的重心

定义

树上一点 \(x\)，令 \(x\) 的最大子树的节点数最小

性质：

• 对于删除重心后所得的所有子树，最大节点数不超过原树的 \(\frac{1}{2}\)
• 一棵树最多只有两个重心，这两个重心相邻
• 这两个重心相邻时，记深度较浅的节点为 \(u\) ，深度较深的节点为 \(v\)，则 \(size_1-size_v=size_v\)
• 树中所有节点到重心的距离和最小，如果有两个重心，那么树上所有节点分别到这两个重心的距离和相等
• 两棵树用一条边合并成一棵树，新的重心在原树两个重心的路径上
• 在树上删除 \(/\) 添加一个叶子节点，重心最多只会移动一条边

树的直径

定义

树上两点间的最长路径

性质

• 直径两端点一定会是两个叶子节点
• 对于一棵树,对于任意一条直径 \(Path(s\to t)\) 和任意一点 \(x\)，\(s\) 或 \(t\) 一定是距离 \(x\) 最远的点之一
• 对于两棵树，如果树 \(T_1\) 直径两端点为 \((u,v)\)，树 \(T_2\) 直径两端点为 \((x,y)\)，用一条边连接两棵树 \(T_1,T_2\)，得到的新树直径两端点 \(\in {x,y,u,v}\)
• 对于一棵树，如果在一个点下接一个叶子节点，最多只会改变直径的一个端点
• 若一棵树存在多条直径，则这些直径交于一点并且交点就为这些直径的中点

最小生成树

定义

图 \(G\) 的边权之和最小的生成树 \(T\)

性质

• 把所有边权相同的视为边组，每一组边组在最小生成树的条数是固定的，对连通性的贡献也是固定的
• 换掉一条边并且保证结果是树记为一次操作，树 \(A\) 和 \(B\) 是无向图的两个生成树，则 \(A\) 可以通过若干次操作变成 \(B\)（对最小生成树也成立）
• 如果无向图的边权都不相同，则最小生成树是唯一的
• 如果一棵生成树，任何边都在某棵最小生成树上，则它不一定是最小生成树
• 对于任意正确加边方案（即不存在环），加完小于某权值的所有边后当前边集的连通性是一样的

杂项

判断树上两条路径是否有公共点：设给出的两条路径为 \(\mathrm{Path}(a\to b),\mathrm{Path}(c\to d)\)。若 \(\mathrm{Path}(a\to b)\) 与 \(\mathrm{Path}(c\to d)\) 有交，仅当 \(\mathrm{lca}(a,b)\in\mathrm{Path}(c,d)\vee \mathrm{lca}(c,d)\in \mathrm{Path}(a,b)\)。

判断一个点是否在一条路径上：设给出的路径为 \(\mathrm{Path}(x,y)\)，给出的点为 \(z\)。若 \(z\in \mathrm{Path(x,y)}\)，仅当 \(\mathrm{dis}(x,z)+\mathrm{dis}(z,y)=\mathrm{dis}(x,y)\)。

\(n\) 个点选 \(m\) 个点作为根的有标号森林数为：\(C_n^m\times n^{n-1-m}\times m\)。使用 \(\text{Prufer}\) 序列证明：在森林中加入一个虚点（方点），点权设为 \(\infty\)，则这 \(n+1\) 个点的 \(\text{Prufer}\) 序列长度为 \(n-1\)，且 \(\text{Prufer}\) 序列中最后 \(1\sim k\) 项都是这个方点，倒数第 \(k+1\) 项是选中的 \(k\) 个根中的任意一点，第 \(1\sim n-k-1\) 项只要 \(\in [1,n]\) 即可，故总方案数为上式。