题解「GZOI2019 旧词」
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题意
给定一棵 \(n\) 个点的有根树，节点标号 \(1 \sim n\)，\(1\) 号节点为根。
给定常数 \(k\)。
给定 \(Q\) 个询问，每次询问给定 \(x,y\)。
求：
\(\text{lca}(x,y)\) 表示节点 \(x\) 与节点 \(y\) 在有根树上的最近公共祖先。
\(\text{depth}(x)\) 表示节点 \(x\) 的深度，根节点的深度为 \(1\)。
由于答案可能很大，你只需要输出答案模 \(998244353\) 的结果。
\(\texttt{Data Range:}1\leq n \leq 5\times 10^4,1\leq q \leq 5\times 10^4\)。
题解
考虑一下这个问题的弱化版，即 [LNOI2014]LCA。
求：
可以想到最暴力的方法，依次将 \(i,y\) 上的路径染色，求 \(\text{lca}\)。
这样我们可以发现一个性质，\(y\) 的 \(\text{lca}\) 一定在从根节点 \(1\) 到 \(y\) 的路径上，\(i\) 的 \(\text{lca}\) 也一定在点 \(i\) 到根节点 \(1\) 的路径上。并且进一步可以得出，\(\text{lca}(i,y)\) 就在两者路径的公共部分上，并且就是这个公共部分所包含的深度最大的点。正确性显然。
例如，在上图中，点 \(i\) 到根节点 \(1\) 的路径与点 \(y\) 到根节点 \(1\) 的路径的公共部分，就为根节点 \(1\) 到点 \(z\) 的路径，并且 \(\text{lca}(i,y)=z\)。
回想一下上面的性质，点 \(i\) 到根节点 \(1\) 与点 \(y\) 到根节点 \(1\) 的公共路径所包含的深度最大的点 就是 \(\text{lca}(i,y)\)，那么我们先对从根节点 \(1\) 到每个点 \(i\) 的路径染色，再查询根节点 \(1\) 到点 \(y\) ，就相当于取了这些公共路径，问题是如何查询 点 \(y\) 到根节点 \(1\) 的路径 与 点 \(i\) 到根节点 \(1\) 的路径 的公共部分的深度最大的节点的 深度？
可以想到差分，设 \(b[x]=\text{depth}(x)-\text{depth}(fa[x])\)，则 \(\text{depth}(x)\) 即为从 \(1\) 到点 \(x\) 的路径上所有\(b[j]\) 和。由于此弱化版求解的是一个幂为 \(1\) 的情况，所以 \(\forall x\geq 1,b[x]=1\)。
通过上述结论可以得到，对于每一个 \(i\) ，将它到根节点 \(1\) 的路径上的所有点 \(j\) 的权值加上 \(b[j]\)（\(j\) 是点 \(i\) 到根节点 \(1\) 的路径上包含的点），查询时直接查询点 \(y\) 到根节点 \(1\) 的点权和，即为每次询问的答案。
对于此弱化版问题，区间加 \(b[j]\) 可直接视为区间 \(+1\)。
但对于此题，要求求解 \(k\) 次方，应令 \(b[x]=\text{depth}(x)^k-\text{depth}(fa[x])^k\)。需要维护一个对于每个 \(x\in [l,r]\)，点权 \(val[x]=val[x]+b[x]\) 的操作，其实也非常简单，对 \(b[i]\) 做前缀和，进行此操作时在线段树上直接加上对应的和即可。
每次询问不是 \(n \log^2 n\) 的么？没看出比暴力优秀多少啊？
我们可以将询问离线，将 \(x\) 从小到大排序，保证每次询问时都维护了点 \(1\sim x\) 的贡献（当前询问的 \(x\)）并统计答案。这样保证每个点到根节点 \(1\) 的路径只会在树上被操作一次，减少了冗余操作。其实就是个 \(one-pointer\)，很好理解。
经过上述分析，对于该题，我们需要一个支持路径修改，路径查询的数据结构，使用 树链剖分+线段树 即可。时间复杂度为 \(O(n+q \log^2 n)\)。
Show the Code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
int tot=0,cnt=0;
int h[500005],to[500005],ver[500005];
int d[500005],fa[500005],size[500005],son[500005];
int seg[500005],rev[500005],top[500005];
ll sum[2000005],tag[2000005],b[500005],ans[500005];
struct node {int x,y,id;} q[500005];
inline void swap(int &x,int &y) {int tmp=y;y=x;x=tmp;}
inline bool cmp(node x,node y) {return x.x<y.x;}
inline ll Add(ll x,ll y) {return (((x+y)%mod)+mod)%mod;}
inline ll read() {
register ll x=0,f=1;register char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0') {if(s=='-') f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
return x*f;
}
inline void add(int x,int y) {
to[++cnt]=y;
ver[cnt]=h[x];
h[x]=cnt;
}
inline ll qpow(ll x,ll p) {
ll res=1;
for(;p;p>>=1) {
if(p&1) res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
}
return res;
}
inline void dfs1(int x) {
size[x]=1;son[x]=-1;
for(register int i=h[x];i;i=ver[i]) {
int y=to[i];
d[y]=d[x]+1;fa[y]=x;
dfs1(y);size[x]+=size[y];
if(son[x]==-1||size[son[x]]<size[y]) son[x]=y;
}
}
inline void dfs2(int x,int t) {
seg[x]=++tot;rev[tot]=x;top[x]=t;
if(son[x]!=-1) dfs2(son[x],t);
for(register int i=h[x];i;i=ver[i]) {
int y=to[i];
if(y==son[x]) continue;
dfs2(y,y);
}
}
inline void work(int p,int l,int r,ll val) {
val%=mod;
tag[p]=Add(tag[p],val);
sum[p]=Add(sum[p],val*Add(b[r],-b[l-1]));
}
inline void spread(int p,int l,int r) {
if(tag[p]) {
int mid=l+r>>1;
work(p<<1,l,mid,tag[p]);
work(p<<1|1,mid+1,r,tag[p]);
tag[p]=0;
}
}
inline void change(int p,int L,int R,int l=1,int r=tot) {
if(L<=l&&r<=R) {work(p,l,r,1);return;}
spread(p,l,r);
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid) change(p<<1,L,R,l,mid);
if(R>mid) change(p<<1|1,L,R,mid+1,r);
sum[p]=sum[p<<1]+sum[p<<1|1];
}
inline ll ask(int p,int L,int R,int l=1,int r=tot) {
if(L<=l&&r<=R) return sum[p];
spread(p,l,r);
int mid=l+r>>1;ll res=0;
if(L<=mid) res=Add(res,ask(p<<1,L,R,l,mid));
if(R>mid) res=Add(res,ask(p<<1|1,L,R,mid+1,r));
return res;
}
inline void Modify(int x,int y) {
while(top[x]!=top[y]) {
if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);//d[top[x]]>=d[top[y]]
change(1,seg[top[x]],seg[x]);
x=fa[top[x]];
}
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);//d[x]<=d[y]
change(1,seg[x],seg[y]);
}
inline ll Qsum(int x,int y) {
ll res=0;
while(top[x]!=top[y]) {
if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
res=Add(res,ask(1,seg[top[x]],seg[x]));
x=fa[top[x]];
}
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);//d[x]<=d[y]
return Add(res,ask(1,seg[x],seg[y]));
}
int main() {
int n=read(),T=read(),k=read();
for(register int i=2;i<=n;++i) add(read(),i);
for(register int i=1;i<=T;++i) {q[i].x=read();q[i].y=read();q[i].id=i;}
std::sort(q+1,q+1+T,cmp);
d[1]=1;dfs1(1);dfs2(1,1);//printf("%d\n",tot);
for(register int i=1;i<=tot;++i) {int x=rev[i];b[i]=Add(b[i-1],qpow(d[x],k)-qpow(d[fa[x]],k)+mod);}
int now=1;
for(register int i=1;i<=T;++i) {
while(now<=q[i].x) {Modify(1,now);++now;}
ans[q[i].id]=Qsum(1,q[i].y);
}
for(register int i=1;i<=T;++i) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号