题解「CF1344D Resume Review」

链接

CodeForces 1344D

题意

一个长度为 \(n\) 的数组 \(a_i\)，构造 自然数 数组满足：

• \(\forall i,b_i\in[0,a_i]\).
• \(\sum_{i=1}^n b_i=k\)

在这个前提下，求令 \(\sum_{i=1}^n b_i(a_i-b_i^2)\) 达到最大值的任意一组 \(b_i\).

题解

首先很容易想到暴力，设 \(b_i\) 的值为 \(x\) ，则 \(b_i\) 增加 \(1\) 对答案新增的贡献为 \(\Delta_i=(x+1)\left(a_i-(x-1^2)\right)-x(a_i-x^2)=a_i-3x^2+3x-1\)。

那么，初始时设所有 \(b_i\) 都为 \(0\) ，用一个堆维护，每次从堆中取出 \(\Delta_i\) 最大的 \(b_i\) 加 \(1\)，并记录下 \(b_i\) ，最后得到的 \(b_i\) 就是题目所求的 \(b_i\) 。时间复杂度为 \(O(k \log n)\)，显然不能承受。

观察上述过程，我们发现在暴力过程中，由于每次都采取当前的最优策略，所以对于任意的 \(y\)，第 \(y\) 次增加的值是 固定的 ，并且是单调递减的。那么这样的一个增量便具有了单调性。

对于一个 \(\Delta_i\)，我们知道如果取这个 \(i\) 把它对应的 \(b_i\) 加 \(1\)，意味着其他位置上的 \(\Delta\) 值并不会大于 \(\Delta_i\)，也就是说我们可以根据这个 \(\Delta_i\) ，大概确定出所有的 \(b_i\)。我们称这个 \(\Delta_i\) 为最大增量.

由于满足单调性，最大增量可以被二分出来，\(\text{check}\) 函数也非常简单，根据最大增量求出每个 \(b_i\) ，判断 \(\sum_{i=1}^n b_i\) 是否大于 \(k\) 即可。至于求 \(b_i\) 的过程可以解方程，也可以直接二分，前者可以近似认为是 \(O(n \log maxVal)\)，而后者则是 \(O(n \log^2 maxVal)\)。

值得一提的是，由于最大增量 非严格单调递减 ，以及二分后求出的 \(b_i\) 不一定满足 \(\sum b_i=k\) 的约束，我们规定二分求出的 \(b_i\) 满足 \(\sum b_i\leq k\)，并且二分求出的 \(\Delta\) 不是一个值，是一个长度为 \(2\) 的区间，对边界进行控制，这样就不会遗漏任何情况。

Show the Code

#include<cstdio>
#include<climits>
#define max(a,b) ((a)>(b)? (a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)? (a):(b))
typedef long long ll;
ll n,m,sum=0;
ll a[100005],b[100005];
inline ll read() {
    register ll x=0,f=1;register char s=getchar();
    while(s>'9'||s<'0') {if(s=='-') f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}
//-3*y^2+3*y+x-1=-3(y-(1/2))^2+...
inline ll f(ll x,ll y) {return x==y? LLONG_MAX:x-3*y*(y-1)-1;}//对称轴x=1/2
inline ll calc(ll x,ll lim) {//f(a[x],b[x])<=lim
    ll l=1,r=a[x],res=a[x];
    while(l<=r) {
        int mid=l+r>>1;
        if(f(a[x],mid)<=lim) {r=mid-1;res=mid;}
        else {l=mid+1;} 
    }
    return res;
}
inline bool check(ll x) {
    sum=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i) {
        b[i]=calc(i,x);
        sum+=b[i];
    }
    return sum<m;
}
int main() {
    n=read();m=read();
    ll l=0,r=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i) {
        a[i]=read();
        l=min(l,f(a[i],a[i]-1));
        r=max(r,f(a[i],0));
    }
    while(l+1<r) {
        ll mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    if(check(l)) r=l;
    check(r);
    m-=sum;
    for(register int i=1;i<=n;++i) if(m>0&&b[i]<a[i]&&f(a[i],b[i])==r) ++b[i],--m; 
    for(register int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",b[i]);
    return 0;
}