Burnside引理

本质不同方案数：

\[\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\operatorname{Fix}(g)| \]

• 这里的 \(G\) 是所有允许的变换组成的集合
• 这里的 \(|\operatorname{Fix}(g)|\) 是有多少原始方案经过 \(g\) 的变换之后完全不变

即：\(\text{本质不同方案数}=\text{不动方案平均数}\)

理解：

考虑这样的问题：有一根手链有 \(n\) 颗珠子，每颗珠子可以选 \(m\) 种颜色之一，通过旋转获得的手链算作同一种，问有多少种本质不同的手链。

对于本质相同，即经过旋转得到的所有手链，\(x_1, x_2, \dots, x_k\) 为一个轨道

我们实际上要求有多少个轨道

我们设 \(M=|G|\)，即一共有 \(M\) 种操作

我们对于 \(x_1\) 进行所有操作，那么每隔 \(k\) 次就会回到 \(x_1\) 一次

那么，一共有 \(M/k\) 种操作可以让 \(x_1\) 回到自己

回看我们的式子，也可以理解为： \(x_1\) 会在 \(M/k\) 种操作中做贡献

所以一个轨道上所有方案贡献加起来就是

\[\frac{M}{k} \times k = M \]

这代表如果我们计算“每种操作有多少种染色可以前后不变”，最后的和等于 \(轨道数 \times M\)

这就推出了公式

\[\text{本质不同方案数}=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |\operatorname{Fix}(g)| \]