欧拉函数积性证明以及计算公式推导

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示小于或等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的数目。

欧拉函数是积性函数证明

假设 \(m\) 和 \(n\) 是两个互质的正整数，即 \(\gcd(m,n)=1\)。要证明欧拉函数 \(\varphi\) 是积性函数，需证明 \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)。

• 构造集合：设集合 \(A=\{x\mid 1\leq x\leq m,\gcd(x,m)=1\}\)，集合 \(B=\{y\mid 1\leq y\leq n,\gcd(y,n)=1\}\)，集合 \(C=\{z\mid 1\leq z\leq mn,\gcd(z,mn)=1\}\)。那么 \(|A|=\varphi(m)\)，\(|B|=\varphi(n)\)，\(|C|=\varphi(mn)\)，这里 \(|S|\) 表示集合 \(S\) 中元素的个数。

• 建立双射：考虑建立一个从集合 \(A\times B\) 到集合 \(C\) 的映射 \(f\)，使得对于任意的 \((x,y)\in A\times B\)，\(f((x,y))=nx + my\bmod mn\)。可以证明这个映射是双射，即一一对应。

  • 证明单射：假设存在 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\times B\)，使得 \(f((x_1,y_1))=f((x_2,y_2))\)，即 \(nx_1 + my_1\equiv nx_2 + my_2\pmod{mn}\)。由此可得 \(n(x_1 - x_2)\equiv m(y_2 - y_1)\pmod{mn}\)。因为 \(\gcd(m,n)=1\)，所以 \(m\mid(x_1 - x_2)\) 且 \(n\mid(y_2 - y_1)\)。又因为 \(1\leq x_1,x_2\leq m\)，\(1\leq y_1,y_2\leq n\)，所以 \(x_1 = x_2\) 且 \(y_1 = y_2\)，这就证明了 \(f\) 是单射。
  • 证明满射：对于任意的 \(z\in C\)，因为 \(\gcd(m,n)=1\)，根据中国剩余定理，存在唯一的 \(x\in\{1,2,\cdots,m\}\) 和 \(y\in\{1,2,\cdots,n\}\)，使得 \(z\equiv nx + my\pmod{mn}\)。又因为 \(\gcd(z,mn)=1\)，可以推出 \(\gcd(x,m)=1\) 且 \(\gcd(y,n)=1\)，即 \((x,y)\in A\times B\)，所以 \(f\) 是满射。

由于 \(f\) 是双射，所以 \(|A\times B|=|C|\)，而 \(|A\times B|=|A|\times|B|=\varphi(m)\varphi(n)\)，\(|C|=\varphi(mn)\)，因此 \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)，这就证明了欧拉函数是积性函数。

欧拉函数计算公式推导

1. 当 \(n\) 为质数时

若 \(n\) 是一个质数，那么小于 \(n\) 的所有正整数都与 \(n\) 互质。因为质数只有 \(1\) 和它本身两个因数，所以小于 \(n\) 的正整数（共 \(n - 1\) 个）都不包含 \(n\) 这个因数，即与 \(n\) 互质。因此，当 \(n\) 为质数时，\(\varphi(n)=n - 1\)。

例如，当 \(n = 5\) 时，小于 \(5\) 的正整数有 \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)，它们都与 \(5\) 互质，所以 \(\varphi(5)=5 - 1 = 4\)。

2. 当 \(n\) 为质数的幂时

若 \(n = p^k\)（其中 \(p\) 是质数，\(k\) 是正整数），那么在 \(1\) 到 \(p^k\) 这 \(p^k\) 个正整数中，不与 \(p^k\) 互质的数就是 \(p\) 的倍数，即 \(p, 2p, 3p, \cdots, p^{k - 1}p\)，一共有 \(p^{k - 1}\) 个。所以与 \(p^k\) 互质的数的个数为 \(p^k - p^{k - 1}=p^k(1 - \frac{1}{p})\)。

例如，当 \(n = 2^3 = 8\) 时，在 \(1\) 到 \(8\) 中，\(2\) 的倍数有 \(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)，共 \(4 = 2^2\) 个。那么与 \(8\) 互质的数的个数为 \(8 - 4 = 4\)，也可以通过公式计算：\(\varphi(8)=2^3(1 - \frac{1}{2}) = 8\times\frac{1}{2}=4\)。

3. 当 \(n\) 为任意正整数时

对于任意正整数 \(n\)，可以将其分解质因数为 \(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}\)（其中 \(p_i\) 是不同的质数，\(k_i\) 是正整数）。由于欧拉函数是积性函数，即如果 \(\gcd(a, b)=1\)（\(a\) 和 \(b\) 互质），那么 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)。

根据这个性质，可得：
\(\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\cdots\varphi(p_m^{k_m})\)

将每个 \(\varphi(p_i^{k_i})=p_i^{k_i}(1 - \frac{1}{p_i})\) 代入上式，得到：
\(\varphi(n)=n\prod_{i = 1}^{m}(1 - \frac{1}{p_i})\)

例如，当 \(n = 6 = 2\times3\) 时，根据公式可得：
\(\varphi(6)=6\times(1 - \frac{1}{2})\times(1 - \frac{1}{3})=6\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=2\)

在 \(1\) 到 \(6\) 中，与 \(6\) 互质的数是 \(1\) 和 \(5\)，共 \(2\) 个，与计算结果一致。

代码实现

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}