【高等数学笔记-导数与微分(1)】导数与导函数

从极限的角度复习一下导数吧

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导数

导数是一个数值

• 代表的是函数某点y增量和x增量的比值,在x增量趋于0是的极限值;

\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x+x_0)-f(x_0)}{\Delta x} \]

• 也可以写作

\[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0 }=\lim_{h \to 0}\frac{f(h+x_0)-f(x_0)}{h} \]

重要,还有以下写法:

• 拉格朗日记号/撇号记号（1797年）

\[y'|_{x=x_0} \]

• 莱布尼茨记号/微分记号/分数记号;

\[\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0} \]

\(\frac{dy}{dx}\) 表示\(y\)对\(x\)的导数,这不是一个真正的分数,而是极限的符号表示：\(\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)(后面提到微分再说)

可见以下结论

• 导数首先是一个数值,一个确定的数
  • 导数依赖于某个函数的某个点,即原函数\(f\),以及点\(x_0\);没有函数就没有意义,没有某点就没有值;
  • 所以要求导数函数必须在\(x_0\)的某个邻域内有定义
• 其次导数是一个极限值
  • 如函数在某点\(x_0\)没有极限,则称函数\(f\)在\(x_0\)处不可导,此点也就不存在导数
• 由极限的存在可知,以下情况不可导:
  • 函数在该点无定义,此点没定义的情况下,\(f(x_0)\)都无法计算
  • 找不到点\(x_0\)的任意的一个有定义的去心邻域,即:邻域不完整
  • 极限值不存在:
    • 函数在该点不连续:不连续(跳跃间断,无穷间断,震荡间断, 可去间断),
    • 函数连续但导数极限不存在: 垂直切线（导数趋于无穷）,导数震荡不存在
    • 分形函数 处处连续处处不可导
• 那么如果只存在单侧极限呢?依旧不可导,因为要求极限存在,是双侧极限都存在极限才存在;

函数在某点的极限定义
设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于给定的正数\(\varepsilon\),总存在正数\(\delta\),使得当\(x\)满足不等式\(x<|x-x_0|<\delta\)是,对应的函数值都满足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\);

导数的意义,反应某点处的瞬时变化率;即因变量随着自变量变化而变化的速度快慢;
从图像来看,如果导数绝对值越大,那么函数越陡峭(即变化越剧烈),反之越平缓;

• 导数无穷大
  导数无穷大是函数在某点不可导的一种情况,即\(\Delta x\to 0,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty\),此时可以称为函数在\(x_0\)处导数无穷大;

导函数

• 导函数是一个函数
• 实际导函数就是对原函数的每一个点,都做一次极限运算求值:$$\lim_{h \to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h}$$即求导数值;那么此时的自变量还是\(x\),因变量从\(y\)变成了\(y'\),注意注意:定义域变了
• 对于导函数来说,首先他是函数.既然是函数我们必须考虑
  • 定义域:原函数的定义域就是导函数的定义域吗? 不一定,比如原函数在某点跳跃断开了,则此点在导函数中没有定义;但是一定有子集关系:\(Df'\subseteq Df\)
  • 自变量: 对于此式,自变量就是\(x_0\):原函数为\(f(x)\),则对应的导函数为以下,自变量都是\(x\),但是需注意,定义域不同;若对于开区间\(I\)上的每一点都可导.那么在\(I\)上就有导函数的定义式:

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h} \]

如果使用上式计算导数,那么注意,极限过程自变量是\(h\),而\(x\)视作常量;

• 对于原函数\(f\)描述了,自变量\(x\)和因变量\(y\)的映射关系,那么对于导函数\(f'\)描述的就是自变量\(x\)和因变量\(y'\)的映射关系;
• 记法:原函数为\(y=f(x)\),导函数可以记为:

\[y',f'(x),\frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx} \]

• 导函数简称为导数,若没有描述函数在某点的导数,则导数一般指的是导函数;显然函数在某点\(x_0\)的导数就是此点\(x_0\)的导函数值:$$f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}$$

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基本初等函数的导数 (导函数):

1.常值函数:\(f(x)=C\)(\(C\)是常数)

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{C-C}{h}=0 \]

2.幂函数:\(f(x)=x^n,n\in N^+\)在\(x=a\)处的导数

\[\begin{align*} f'(x)=&\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\[20pt] =&\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}\\[20pt] =&\lim_{x \to a}(x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots+a^{n+1})\\[20pt] =&na^{n-1} \end {align*}\]

3.指数函数:\(f(x)=a^x,a>0,a \ne 1\)

\[\begin{align*} f'(x)=&\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{a^{x}\times a^{h}-a^x}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\overbrace{a^{x}(a^{h}-1)}^{a^x-1 \sim a\ln x(x\to 0,a>0,a\ne1)}}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{a^{x} (h\ln a)}{h}\\[20pt] =&a^{x}\ln a\\[20pt] \end{align*}\]

特别的:当\(a=e\)时,导函数与原函数相等;

\[(e^x)'=a^{x}\ln a=e^{x}\ln e=e^x \]

4.三角函数:\(f(x)=\sin x\)

\[\begin{align*} f'(x)=&\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h -\sin x}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\sin x (\cos h-1) + \cos x \sin h}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\sin x (-\frac12 h^2) + \cos x h}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}-\frac12\sin xh +\cos x\\[20pt] =&\cos x\\[20pt] \end{align*}\]

同理可得

\[\cos' x=-\sin x \]

5.对数函数:\(f(x)=\log_ax\quad(a>0,a\ne 1)\)

\[\begin{align*} f'(x)=&\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a x}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\log_a\frac{x+h}{x}}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\log_a(1+\frac{h}{x})}{h}\\[20pt] =&\lim_{h \to 0}\frac{\frac{h}{x}\log_ae}{h}\\[20pt] =&\frac{1}{x}\log_ae=\frac{1}{x\ln a}\\[20pt] \end{align*}\]

由第二重要极限,同取对数可得:\(x\to0,\log_a(x+1)\sim x\log_ae\)

特别的:当\(a=e\)时;

\[(log_ex)'=\frac{1}{x\ln a}=\frac{1}{x} \]

基本初等函数导数表

函数类型	函数表达式	导数表达式	备注
常值函数	\(f(x) = C\)	\(f'(x) = 0\)	\(C\) 为常数
幂函数	\(f(x) = x^a\)	\(f'(x) = ax^{a-1}\)	\(a \in \mathbb{R},\ x > 0\)
	\(f(x) = \frac{1}{x}\)	\(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\)	\(x \neq 0\)
	\(f(x) = \sqrt{x}\)	\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(x > 0\)
指数函数	\(f(x) = a^x\)	\(f'(x) = a^x \ln a\)	\(a > 0,\ a \neq 1\)
	\(f(x) = e^x\)	\(f'(x) = e^x\)	\(e\) 为自然对数底数
对数函数	\(f(x) = \log_a x\)	\(f'(x) = \frac{1}{x \ln a}\)	\(a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0\)
	\(f(x) = \ln x\)	\(f'(x) = \frac{1}{x}\)	\(x > 0\)
三角函数	\(f(x) = \sin x\)	\(f'(x) = \cos x\)
	\(f(x) = \cos x\)	\(f'(x) = -\sin x\)
	\(f(x) = \tan x\)	\(f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)	\(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\)
	\(f(x) = \cot x\)	\(f'(x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}\)	\(x \neq k\pi\)
	\(f(x) = \sec x\)	\(f'(x) = \sec x \tan x\)	\(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\)
	\(f(x) = \csc x\)	\(f'(x) = -\csc x \cot x\)	\(x \neq k\pi\)
反三角函数	\(f(x) = \arcsin x\)	\(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(|x| < 1\)
	\(f(x) = \arccos x\)	\(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(|x| < 1\)
	\(f(x) = \arctan x\)	\(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
	\(f(x) = \text{arccot}\,x\)	\(f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}\)

注：

• \(k \in \mathbb{Z}\) 表示整数
• \(\|x\|\) 表示 \(x\) 的绝对值
• 所有导数公式均在函数定义域内成立
• \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)

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可导与连续

• 函数在在某点可导:
  • 那么此点一定存在定义,一定存在极限;
  • 也就意味着,这个点一定存在有定义的某个邻域(请注意是含心的);
  • 且此点的极限存在;
  • 此点的以下的极限存在
  \[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

• 函数连续的定义: 设函数 \(f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义,若:\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)就称函数\(f(x)\)在点\(x_0\)连续;还可以写为:(其中\(\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)):

\[\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0 \]

• 对比定义可得:可导必连续,连续不一定可导;
  换句话说: 当函数 \(f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义;(其中\(\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\), \(A\)为常数,即\(f'(x_0)\)):

\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A \implies\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0\\[20pt] \lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0 \nRightarrow \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \text{ 存在} \]

• 证明可导必然连续:
  由定理

自变量在同一过程中\(x\to x_0\)或\(x\to\infty\),函数\(f(x)\)具有极限\(A\)的充要条件是\(f(x)=A+\alpha\),其中\(\alpha\)是无穷小;

可知:

\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A \iff \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha\\[20pt] \implies \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A \iff \Delta y=\Delta xA+\Delta x\alpha \]

代入\(\Delta y\)计算极限:

\[\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}\Delta xA+\Delta x\alpha=0 \]

得证;

• 连续不一定可导:
  • 垂直于x轴的情况:例如\(f(x)=\sqrt[3]{x}|_{x=0}\)
  • 出现尖点:例如\(f(x)=|x||_{x=0}\)
  • 病态函数,处处连续处处不可导的:Weierstrass 函数,都是尖点
  • 无限振荡,例如:

\[f(x)=\begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}), & x\ne0\\ 0,& x=0\\ \end{cases} \]

法线和单侧导数

• 单侧导数,即某点可以计算出左/右极限,但是不等或者只有一个的情况;

\[\lim_{h \to 0}\frac{f(h+x_0)-f(x_0)}{h} \]

分别记为左导数和右导数:

\[f'_+(x_0)和f'_-(x_0) \]

• 法线: 过切点\(M(x_0,y_0)\)并且垂直于切线的直线;计算机图形学中常用可以计算光线反射,减少负载;

• 切线斜率:

\[k_{切线}=f'(x_0) \]

• 法线斜率:

\[k_{法线}=-\frac{1}{f'(x_0)} \]

• 切线方程,由点斜式可知:

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \]

• 法线方程,由点斜式可知:

\[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) \]