【高等数学笔记-极限(1)】数列的极限

定义

首先以下描述的所有数列都是无穷数列;
若随着 n n n的增长,数列的值趋向一个确定的值,或者等于某个确定的值也可以,就认为数列收敛;

当 n n n充分大时， x n x_n xn​​ 与 a a a 的差距可以任意小，无论是否相等;
随着 n n n增大，数列 x n x_n xn​​的值越来越靠近某个确定的数 a a a，并且可以任意靠近。
在这个过程中， x n x_n xn​可以等于 a a a，甚至从某一项开始就恒等于 a a a，这丝毫不影响极限就是 a a a。

要描述数列
{ 1 n } \left\{\frac{1}{n} \right\} { n1​}
的极限比较简单;首先极限值显然是0,从1开始,越来越小,越来越接近于0,但是不等于0,或者说越来越等于一个很靠近0的值;
要描述数列的极限,即趋向于某个值,但是又不能等于那个值的一种描述方法;那么我要描述他的极限可以说:对于任意的项,他的值都大于 a a a,则 a a a是他的极限;但是这句话太局限,对于以下数列就不能这么说了

{ ( − 1 ) n n } \left\{\frac{(-1)^n}{n} \right\} { n(−1)n​}
很容易发现他的极限值是还是 0 0 0,链接: 查看图像

但并不是所有值都大于0,但是0依旧是他的极限,因为他是从两侧分别靠近0这个值;那么我们一步步完善描述:

  • 数列随着 n n n的增大靠近于0,即距离0越来越近,即绝差值的绝对值接近0;
  • 差值的绝对值,即某项与极限的差值,某项用 x n x_n xn​表示,极限值用 a a a表示,则距离为 ∣ x n − a ∣ |x_n-a| ∣xn​−a∣
  • 要表达距离接近于0,多近才叫接近0呢?0.0001吗?如果这个叫接近,那应该还有更接近的0.00001;那么意味着无论多近都不够近,即无论给出多近的一个值,就写为 ε \varepsilon ε吧,认为这是一个非常小的距离;
  • 那么变成了描述距离必须要小于一个非常小的值 ε \varepsilon ε;即 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε,并不是任意情况下这个都成立的;存在一个项 n n n足够大时表达式才成立,即极限过程中的某个时刻往后这个表达式成立;
  • 实际上除了第 n n n项,从 n − 1 n-1 n−1项往后的任意一项与极限 a a a的差值都应该比 ε \varepsilon ε小;
  • 将 n − 1 n-1 n−1项记为第 N N N项,那么对于任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在从第 N N N项往后的所有项 { x n } , n > N \{x_n\},n>N { xn​},n>N,有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε,那么a就称为数列 { x n } \{x_n\} { xn​}的极限;
  • 对于任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在正整数 N N N,对于所有的 n > N n>N n>N,有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε,那么 a a a就称为数列 { x n } \{x_n\} { xn​}的极限;

∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − a ∣ < ε , 则称  a  是数列  { x n }  的极限 \boxed{\forall\varepsilon>0,\exists N\in \mathbb{N},当n>N时,有|x_n-a|<\varepsilon,\text{则称 } a \text{ 是数列 } \left\{ x_n \right\} \text{ 的极限}} ∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,有∣xn​−a∣<ε,则称 a 是数列 { xn​} 的极限​

性质

若满足以上条件,则可以记为:
lim ⁡ x → ∞ x n = a \boxed{\lim_{x\to\infty}x_n=a} x→∞lim​xn​=a​
或记为:
x n → a ( n → ∞ ) x_n \to a(n\to \infty) xn​→a(n→∞)
通常来说,表达数列极限时不需要加上大括号,如果需要强调这是一个数列时,也可以加上,例如
lim ⁡ x → ∞ { x n } = a \lim_{x\to\infty}\{x_n\}=a x→∞lim​{ xn​}=a

  • 这两种描述方式: ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − a ∣ < ε \forall\varepsilon>0,\exists N\in \mathbb{N},当n>N时,有|x_n-a|<\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,有∣xn​−a∣<ε和 lim ⁡ x → ∞ x n = a \lim_{x\to\infty}x_n=a limx→∞​xn​=a是等价的;

  • 若不满足极限的条件,则数列没有极限,或者说极限不存在,也称数列是发散的;

  • 除了描述 a a a是数列 x n x_n xn​的极限,还可以描述为数列 x n x_n xn​收敛于 a a a

  • 数列的极限如果存在,那么它是一个确定的、唯一的实数

    • 数列 { s i n ( x ) } \{sin(x)\} { sin(x)}没有极限,收敛不到一个确定的值
    • 数列 { − 1 n } \{-1^n\} { −1n},没有极限,在-1和1之间震荡
    • 数列 { n } \{n\} { n},没有极限,没有边界,趋向于正无穷

  • 常数列 { c } \{c\} { c}是收敛的,极限为 c c c,因为从第一项开始,往后的所有项都满足条件 ∣ c − c ∣ = 0 < ε |c-c|=0<\varepsilon ∣c−c∣=0<ε

  • 即使不是常数列,极限值也不要求是只能接近,不可以等于;例如数列 { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯   , 1 , 1 , 1 , 1 ⋯   } \{1,2,3,4,\cdots,1,1,1,1\cdots\} { 1,2,3,4,⋯,1,1,1,1⋯},即前若干项是发散的,从某一项开始变成常数项了;

例题

  1. 证明数列的 { 1 n } \left\{\frac{1}{n} \right\} { n1​}的极限为0,即 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 limn→∞​n1​=0;
    证:即证明
    ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , 当 n > N 时 , 有 ∣ 1 n − 0 ∣ < ε ; \begin{gather*} \forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb{N},当n>N时,有\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon;\\ \end{gather*} ∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,有 ​n1​−0 ​<ε;​
    因为 n > 0 , ε > 0 n>0,\varepsilon>0 n>0,ε>0;

∣ 1 n − 0 ∣ < ε    ⟺    n > 1 ε \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon\iff n>\frac{1}{\varepsilon}\\ ​n1​−0 ​<ε⟺n>ε1​

取 N = ⌈ 1 ε ⌉ + 1 , 则 n > N = ⌈ 1 ε ⌉ + 1 > 1 ε , 即 n > 1 ε 得证 取N=\lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil+1,则n>N=\lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil+1>\frac{1}{\varepsilon},即n>\frac{1}{\varepsilon}得证 取N=⌈ε1​

posted @ 2025-08-22 13:19  tomcat4014  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报  来源