【高等数学笔记-极限(2)】函数的极限

引例

数列(无穷数列)本质上可以理解为的函数,即定义域为${\mathbb{N}}^{+}$的离散型特殊函数;
那么可以将数列的极限推广到函数的极限;
首先要解决在何处存在极限,对于数列来说,由于自变量仅存在一个$n$,并且取值一定是$n\to \infty$的;但是函数不一定;

首先实数系统中讨论:
极限值$a$必须是确定的实数,即有限实数,即$a\in \mathbb{R}$,极限值不可以为$\infty$;

• 观察函数$f(x)=e^x$的图像,显然在$n\to -\infty$处收敛于$0$
  

• 观察函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像,显然存在2个极限,分别在$n\to +\infty$和$n\to -\infty$处均收敛于$0$
  

• 观察这个特殊的分段函数
  $$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\ne 0\\ 1,x=0\end{array}$$
  那么在0处的极限值应该是0还是1呢?
  

• 更多请点击查看链接: 函数收敛示例

• 情况1,函数在$+\infty$或$-\infty$处有极限;即函数在$x\to \infty$时的极限

• 情况2,函数在某点例如$x_0$处有极限;

  • 函数在$x_0$处有定义
    • 函数连续,函数值本身就是极限值:
    • 函数在$x_0$处断开了,但是左右都是连续的
  • 函数在$x_0$处无定义,函数两边的值都无限接近极限值,但是无法相等:
  • 综上,核心是讨论:函数在 $x_0$​ 附近的趋近行为,与函数是否在$x_0$处是否有定义无关,

函数在某点$x_0$处有极限

定义

之前讨论过,常数列的极限是是常数本身;实际讨论函数在$x_0$处的极限,就是讨论在这个位置上,函数应该接近/等于何值?

1. 首先相等是最接近的,如果函数连续,那么可以确定$x_0$在此处对应的函数值$f(x_0)$的值(等同于在$x_0$上有定义),那么相等了,那么这个值就一定是极限;
2. 如果函数在$x_0$上没有定义,但是函数在$x_0+\delta$和$x_0-\delta$上有定义, 那么在$\delta \to 0$的过程中,$f(x_0+\delta )$和$f(x_0-\delta )$都接近了一个有限的确定的实数$a$,那么$a$也应该是他的极限;
3. 如果函数在$x_0$上有定义,但是函数在$x_0$处断开了,就应该视作2的情况来讨论;

类比数列的极限定义可以很容易写出函数的极限的定义
数列极限定义
$$\forall \epsilon >0,\exists N>0;当n>N时,有|x_n-a|<\epsilon$$
函数极限定义($x_0$处)
$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \delta >0;当0<|x-x_0|<\delta 时,有|f(x)-a|<\epsilon }$$
等同于
$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0;\underset{\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )}{\underbrace{当0<|x-x_0|<\delta 时}},有|f(x)-a|<\epsilon$$
实际$\delta$至少是一个满足条件的最大距离,它可以更小,这个距离即$|x_0+\delta |$,只要它能满足;那么对于更小的距离$|x-x_0|$,那么一定能满足;
就和数列的$N$一样,如果第$N$项满足了,那么$N$项往后的任意一项$n$,都可以满足;

上图链接,调整$\epsilon ,\delta$,操作试试:极限过程

在求证函数在$x_0$处的极限是A;
也就是寻找一个$\mathring{U}(x_0,\delta )$,使得属于这个邻域的任意一个数对应的函数值,落在$A\pm \epsilon$内
严格单调且连续的函数$f(x)$，且反函数也连续时
若我将原函数的反函数记为$g(x)$,这个邻域最大范围实际就是$g(A\pm \epsilon )$的范围

左右极限

示例

$$f(x)=\{\begin{array}{l}x,x\in (-2,-1)\cup (-1,1]\\ x+1,x\in (1,2)\end{array}$$
绘制他的图像可见以下结论

$x$	左极限	右极限	极限
-2	x	√	x
-1	√	√	√
1	√	√	x
2	√	x	x

关键点分析

1.$x=-2$

• 左极限：
  函数在$x=-2$左侧未定义（定义域从$-2$开始），左极限不存在（记为 x）。
• 右极限：
  当$x\to -2^{+}$时，$x\in (-2,-1)$，$f(x)=x$，故右极限为$-2$（记为 √）。
• 极限：
  因左极限不存在，整体极限不存在（记为 x）。

2.$x=-1$

• 左极限：
  当$x\to -1^{-}$时，$x\in (-2,-1)$，$f(x)=x$，故左极限为$-1$（记为 √）。
• 右极限：
  当$x\to -1^{+}$时，$x\in (-1,1]$，$f(x)=x$，故右极限为$-1$（记为 √）。
• 极限：
  左右极限相等，极限存在且为$-1$（记为 √）。

3.$x=1$

• 左极限：
  当$x\to 1^{-}$时，$x\in (-1,1]$，$f(x)=x$，故左极限为$1$（记为 √）。
• 右极限：
  当$x\to 1^{+}$时，$x\in (1,2)$，$f(x)=x+1$，故右极限为$2$（记为 √）。
• 极限：
  左右极限不等，极限不存在（记为 x）。

4.$x=2$

• 左极限：
  当$x\to 2^{-}$时，$x\in (1,2)$，$f(x)=x+1$，故左极限为$3$（记为 √）。
• 右极限：
  函数在$x=2$右侧未定义（定义域到$2$为止），右极限不存在（记为 x）。
• 极限：
  因右极限不存在，整体极限不存在（记为 x）。

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定义与关系

实际就是从单侧逼近目标点$x_0$的行为,定义为:
左极限:
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{+})=A$$
$$\boxed{\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当x_0-\delta <x<x_0+\delta 时,有|f(x)-A|<\epsilon }$$
右极限
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{-})=A$$
$$\boxed{\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当x_0-\delta <x<x_0时,有|f(x)-A|<\epsilon }$$
与极限关系
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A    ⟺    lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A \boxed{\lim_{x \to x_0}f(x)=A\iff \lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to{x_0}^+}f(x)=A} x→x