【高等数学笔记-极限(3)】无穷大与无穷小

无穷小

某一函数在某一极限过程中的极限为0,则称该函数是在这一极限过程中的无穷小量;
函数$f(x)$满足以下极限之一:
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$$
则称函数$f(x)$为$x\to x_0$或$x\to \infty$过程中的无穷小量;

或者说函数$f(x)$当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时,极限为零,则称$f(x)$为$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时的无穷小;

例

1. $f(x)=x^2,在x\to 0时,f(x)$为无穷小量;因为:${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$
2. $f(x)=x^2,在x\to 1时,f(x)$不是无穷小量;因为:${\lim }_{x\to 1}{x}^2=1$
3. $f(x)=1/x,在x\to \infty 时,f(x)$为无穷小量;因为:${\lim }_{x\to \infty }1/x=0$
4. $f(x)=1/x,在x\to 0时,f(x)$不是无穷小量;因为:${\lim }_{x\to 0}1/x$不存在

• 描述无穷小必须描述其极限过程
• 常值函数$f(x)=0$,在任意的极限过程中,都是无穷小量;通常写为0是无穷小量;
• 定理:自变量在同一过程中$x\to x_0$或$x\to \infty$,函数$f(x)$具有极限$A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha$,其中$\alpha$是无穷小;

极限可以理解为y在极限过程中逐渐趋近于某个值:A
无穷小…y在极限过程中逐渐趋于0
那么极限就是 无穷小+A;其中无穷小表达了极限过程中的趋近含义,A代表与无穷小的偏差是多少

• 在同一自变量的变化过程中,有无穷小量$\alpha ,\beta$;则有

计算方式	结果	原因示例
$\alpha +\beta$	无穷小	例如 $x+x^2\to 0$（$x\to 0$）
$\alpha -\beta$	无穷小	例如 $x-x^2\to 0$
$\alpha \cdot \beta$	无穷小	例如 $x\cdot x=x^2\to 0$
$\frac{\alpha }{\beta }$	无定式	例如 $\frac{x^2}{x}\to 0$，$\frac{x}{x}\to 1$，$\frac{x}{x^2}\to \infty$

无穷大

若某一函数在其某一极限过程中趋于无穷,则称该函数是这一极限过程中的无穷大量;
函数$f(x)$满足以下极限之一:
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty 或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$$
则称函数$f(x)$为$x\to x_0$或$x\to \infty$过程中的无穷大量;(这个极限过程也可以是左右极限的极限过程)

例

1. $f(x)=\frac{1}{x^2}$