【高等数学笔记-极限(4)】极限的运算法则

运算法则

有关无穷小量的:

• 两个无穷小量之和为无穷小量
• 两个无穷小量之积为无穷小量
• 有限个无穷小量之和为无穷小量
• 有限个无穷小量之积为无穷小量
• 常数乘以无穷小量为无穷小量
• 有界函数与无穷小量之积为无穷小量

不可使用的:

• 两个无穷小量之商:不定式

注意必须2个极限都存在时才可以使用,否则不可以使用!!并且这里的极限代表不同极限情况(趋于某点或者趋于无穷)

设$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$,那么有:

• $\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)$
• $\lim [f(x)-g(x)]=\lim f(x)-\lim g(x)$
• $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)$
• $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)},g(x)\ne 0$$

这个四则运算同样适用于数列的极限运算

即同一极限过程中,函数之和(差,积,商)的极限,等于函数的极限之和(差,积,商);
证明:
即证明当$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$时,
有$\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)=A+B$
即证明$f(x)+g(x)$的极限是$A+B$
$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0;当0<|x-x_0|<\delta 时,有|f(x)+g(x)-(A+B)|<\epsilon$$
有
$$A=\lim f(x)=f(x)+\alpha ;B=\lim f(x)=f(x)+\beta$$
$$|f(x)+g(x)-(A+B)|=|A-\alpha +B-\beta -(A+B)|⟹|\alpha +\beta |<\epsilon$$
得证

• $\lim [c\cdot f(x)]=c\cdot \lim f(x)$

注意求极限的变量对象是谁,非自变量都视为常数$c$
例如
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2}{n+1}=\frac{1}{(n+1)}\cdot \underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=\frac{4}{(n+1)}$$
$$\underset{n\to 2}{\lim }\frac{x^2}{n+1}=x^2\cdot \underset{n\to 2}{\lim }\frac{1}{(n+1)}=\frac{x^2}{3}$$

• $\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n,n\in {\mathbb{N}}^{+}$

• $\phi (x)\ge \psi (x)⟹\lim \phi (x)\ge \psi (x)$

• 多项式的分数形式的商(有理函数),$x\to \infty$时极限,最高次数的系数之比就是极限;如果分母最高次次数比分子高,则极限无穷大;分母的最高次次数大于分子,则极限无穷小;

• 复合函数的极限法则,即先求内层的极限,再求外层极限;举例:

$$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\sin x}⟹\underset{x\to 0}{\lim }\underset{u}{\underbrace{\sin x}}=\boxed{0}⟹\underset{u\to \boxed{0}}{\lim }{e}^u=1$$
以某点的极限为例:
$$\begin{gathered} 计算:\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x)) \\ 令u=g(x),\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0 \\ 则 \end{gathered}$$