【高等数学笔记-极限(6)】无穷小的比较

无穷小的比较

引例

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x}=0,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3},$$
在$x\to 0$的过程中,$x^2\to 0$的速度比$x\to 0$快;
$\sin x\to 0$的速度和$3x\to 0$差不多;
比较两个函数在同一极限过程中的趋近速度,谁趋近的越快,就是更高阶的无穷小;(不在一个数量级,线性增长认为同阶,毕竟$3x$和$x$的趋近速度没啥区别)

收敛速度的快慢,即函数在$x\to x_0$的过程中,取一个足够靠近$x_0$的点,谁的函数值的绝对值小谁快;

在足够靠近极限点的范围内，绝对值更小的函数，收敛速度更快;

定义

• 如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$,就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小;记为$\beta =o(\alpha )$;

• 如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$,就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小;

• 如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=c,c\ne 0$,就说$\beta$与$\alpha$同阶无穷小;

• 如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$,就说$\beta$与$\alpha$等价无穷小;记为$\beta \sim \alpha$;

• 如果$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c,c\ne 0$,就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶无穷小;记为$\beta \sim \alpha$;

示例

• 因为$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x}=0$$
  在$x\to 0$这一极限过程中;

  • $x^2$是比$3x$的高阶无穷小,记为$x^2=o(3x)$
  • $3x$是比$x^2$的低阶无穷小
  • $x^2$是关于$3x$的$2$阶无穷小

• 因为$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
  在$x\to 0$这一极限过程中;

  • $\sin x$与$x$的同阶无穷小
  • $\sin x$与$x$等价无穷小
  • $\sin x\sim x$

• 因为$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$$
  在$x\to 0$这一极限过程中;

  • $\sin x$与$2x$的同阶无穷小

• 因为$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }x+3=6$$
  在$x\to 3$这一极限过程中;

  • $(x^2-9)$与$(x-3)$的同阶无穷小

• 因为$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{1}{n}x}=1$$
  在$x\to 0$这一极限过程中;

  • $(\sqrt[n]{1+x}-1)$与$(\frac{1}{n}x)$等价无穷小
  • $(\sqrt[n]{1+x}-1)\sim (\frac{1}{n}x)$

定理

定理1

$$\beta \sim \alpha ⟺\beta =\alpha +o(\alpha );$$
简要证明:
$$\begin{gathered} \beta \sim \alpha ⟹\lim \frac{\beta }{\alpha }=1⟹\lim (\frac{\beta }{\alpha }-1)=0⟹\lim (\frac{\beta -\alpha }{\alpha })=0 \\ ⟹\lim (\frac{\beta -\alpha }{\alpha })=0⟹\beta \end{gathered}$$