hnu Dirichlet's Theorem

 

 

/*
求ax+b  x属于区间[L,R];范围内素数的个数。
a*R+b<=10^12 ;  R-L+1<=10^6

枚举，超时。
1.如果GCD(a，b)>1 那么a+b 2*a+b ..都会是合数。此时只有判断b是否为素数。

2.如果GCD(a,b)=1 那么就可以列式子
  ax+b %p = 0  其中p为素数。 如果满足，那么ax+b就是合数。
  筛选整个区间即可。
 
由于最大的数字是10^12，只能被sqrt(10^12)的素数整除，所以筛选10^6内的素数。
由于区间L,R 10^6，开一个bool hash[ ]。

ax+b % py = 0  ===>  ax+py = -b;

根据扩展欧几里得求出 最小的x，此时的x可以为0.  while(x<0) x+p;

求出最小的x，关键还要求出第一个满足在区间[ L ,R ]里的数字。

temp = L%p;
x = x - temp;

while(a*(L+x)+b<=p) { //关于此处等号，是一个问题 既然a*x+b 是合数，怎么会=p，加了也不会错。
 x = x + p;
}

这样的L+x就是区间[L ,R]里的第一个满足的数字。
而且x可以为0，刚好用hash的时候，直接对x进行哈希。

while(x<(R-L+1)){//不能等于，从0 --R-L  有 R-L+1个了。
hash[x] = false;
x = x+p;
}

3.最后求出结果。扫一遍哈希。


需要注意的是，由于a*x+b <=2的情况，所以对x==0 || x<=1 进行特判。
*/
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e6+1;
int prime[maxn],len = 0;
bool s [maxn];
bool hash1[maxn];
void init()
{
    int i,j;
    memset(s,true,sizeof(s));
    for(i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(s[i]==false) continue;
        prime[++len] = i;
        for(j=i*2;j<maxn;j=j+i)
            s[j]=false;
    }
    s[0] = s[1] = false;
}
bool isprime(LL n)
{
    LL i,ans;
    if(n<maxn) return s[n];
    ans = (LL)sqrt(n*1.0);

    for(i=1; i<=len && prime[i]<=ans; i++)
    {
        if(n%prime[i]==0) return false;
    }
    return true;
}
LL Ex_GCD(LL a,LL b,LL &x,LL& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL g=Ex_GCD(b,a%b,x,y);
    LL hxl=x-(a/b)*y;
    x=y;
    y=hxl;
    return g;
}
int main()
{
    LL a,b,L,U,x,y;
    LL i,p;
    int t = 0;
    init();
    while(scanf("%I64d",&a)>0)
    {
        if(a==0)break;
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&b,&L,&U);
        LL g = Ex_GCD(a,b,x,y);
        if(g>1)
        {
            if(L==0 && isprime(b))
                printf("Case %d: 1\n",++t);
            else printf("Case %d: 0\n",++t);
        }
        else if(g==1)/** gcd(a,b) == 1   **/
        {
            memset(hash1,true,sizeof(hash1));
            if(L==0)
                hash1[0] = isprime(b);
            if(L<=1)
                hash1[1-L] = isprime(a+b);
            LL length = U-L+1;
            LL MAX = a*U+b;
            for(i=1; i<=len; i++)
            {
                p = prime[i];
                if(a%p==0)continue;
                if(p*p>MAX)break;;

                g = Ex_GCD(a,p,x,y);// ax+py = -b;
                x = (x*-b) % p;
                while(x<0) x=x+p;

                LL temp = L%p;
                x = x - temp;
                while(x<0) x=x+p;

                while(a*(x+L)+b<=p)
                {
                    x = x+p;
                }
                while(x<length)
                {
                    hash1[x]=false;
                    x=x+p;
                }
            }
            LL hxl = 0;
            for(i=0; i<length; i++) if(hash1[i]==true) hxl++;
            printf("Case %d: %I64d\n",++t,hxl);
        }
    }
    return 0;
}