初中数学题归纳w

刷完了一张代数

P1

计算 $\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}- \frac{1}{2012}\right) \div \left( \frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+frac{1}{2012}\right)$

这题分隔序列错位相减.

设
S1 = 1+1/3+1/5+1/7+1/9+...+1/2011
S2 = -1/2-1/4-1/6-1/8-...-1/2012
   = 1/2+1/4+1/6+...+1/2012-(1+1/2+1/3+1/4+...+1/1006)
于是设
SA = 1/2+1/4+...+1/2012
SB = 1+1/2+1/3+...+1/1006
那么分号以上的序列为
S1 + SA - SB
S1 + SA = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/2012
再减去 SB 可得
S1 + SA - SB = 1/1007+1/1008+...+1/2012
对比分母可知原式答案为1

P2

计算

\[ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} \]

这题比较简单.

观察可知(sqrt(5)-1)/2是AC这条,其平方是AD这条,互相成黄金分隔,那么它们的差DC即是AC^3,开了三次方根刚好是AC.

P3 对于任何$x,y,z\in \mathbb{R}$,定义运算`$\otimes$`为

\[ x \otimes y = \frac{ 3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45 }{ (x+1)^3+(y+1)^3-60 }\]

此运算从左到右结合,即$(x\otimes y\otimes z=(x\otimes y)\otimes z)$

求

\[2013\otimes 2012\otimes 2011\otimes ...\otimes 3\otimes 2\]

这题比较良心orz.

仍然祭出观察大法.

注意到对于任何$x\otimes 3$,都有$x\otimes 3=9$

那么只需要求出$9\otimes 2=\frac{5463}{967}$即可.

P4 已知

\[ x-y=6,\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9\]

求$\sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}$的值.

这题傻逼题,一眼秒.

观察一下已知与未知的关系,我们显然可以套用平方差公式.

\[ \left( \sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9\right) \left( \sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}\right) = (x-y)^2 = 36 \]

那么原式就为$36\div 9=4$.

P5 设$abc=1$,求$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$的值.

这道题很有意思.

不妨设
 a = 1/x
那么
 bc = x
因此
 b=x/c
带入原式得
原式$=\frac { \frac { 1 }{ x }  }{ \frac { 1 }{ c } + \frac{1}{x}+1}+\frac{\frac{x}{c}}{x+\frac{x}{c}+1}+\frac{c}{\frac{c}{x}+x+1}$
对分子通分,乘上去可得
原式$=\frac { c }{ c+x+1 } +\frac { x }{ c+x+1 } +\frac { 1 }{ c+x+1 } $
这它喵是个shenmegui?!
不就是传说中的大名鼎鼎的$1$嘛.

P6 已知$x,y,z\in \mathbb{R},\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1$,求$\frac { x^2 }{ y+z } +\frac { y^2 }{ x+z } +\frac { z^2 }{ x+y } =1$的值.

这道题非常非常有意思.

这题的标解是乱搞.

我们对第一个式子进行通分,等式两端乘上分子,乱搞一通消去两端相同的项,惊讶的发现...

\[-xyz=x^3+y^3+z^3\]

好玩耶!(有兴趣的读者可以自己化化看)

对所求的式子通分,基本和上面的差不多.

问题就是这个通分的式子,不可做,怎么办!!!

我们将它整理一下.

(以下步骤只写分母)

$x^{ 4 }\quad +\quad x^{ 3 }y\quad +\quad x^{ 2 }yz\quad +\quad xy^{ 3 }\quad +\quad y^{ 4 }\quad +\quad y^{ 3 }z\quad +\quad xy^{ 2 }z\quad +\quad z^{ 2 }xy\quad +\quad z^{ 4 }\quad +\quad z^{ 3 }y\quad +\quad xz^{ 3 }$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+\left( x+y+z\right)xyz$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+\left( x+y+z\right) \left( -x^3-y^3-z^3\right)$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x-\left( x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x\right)$

=

$0$

是不是很有趣

尼萌随意感受下...

P7

这道题真的非常有趣.

窝萌积到$\left( x^2-x-2\right)^6$是一个十二次多项式.我们记它为

\[a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+a_0\]

那么我们要求的是

\[a_{12}+a_{10}+a_8+a_6+a_4+a_2\]

我当时觉得要醛基插值的...

然后看了后面这个数列233了.

我当时还YY了一个无需快速幂的多项式乘方算法23333.

我们将函数记为$f\left( x\right)$.

 

记

\[\begin{array}{lll} S_1 = f ( 1) & & \mathtt{(1)}\\ S_2 = f ( 0) & & \mathtt{(2)}\\ S_3 = f ( - 1) & & \mathtt{(3)} \end{array}\]

那么可知

$f(1)=a_{12}+a_{11}+a_{10}+...+a_1+a_0=64$

$f(0)=a_0=64$

$f(-1)=a_{ 12 }-a_{ 11 }+a_{ 10 }-...-a_{ 1 }+a_{ 0 }=0$

手玩出来原式=

$\frac{f(1)-2f(0)+f(-1)}{2}=-32$

很有趣啊^ ^(hey that polynomial,贵圈真乱) 

P8

分解因式

\[x^2-2x-2y^2+4y-xy\]

遇到这种鬼畜的分解因式题窝萌就先丢给sagemath大法好报平安嘛..

但是一件更加鬼畜的事情就是学校里没有PC啊...这一定是Teachers的应卯!

当然啦,大神们可以求一下方程的根就知道了嘛.

窝萌蒟蒻就只能玩玩观察大法啦.

\[x^{ 2 }-2x-2y^{ 2 }+4y-xy=\\ x\left( x-2 \right) -2y\left( y-2 \right) -xy=\\ x\left( x-2 \right) -2y\left( y-2 \right) -2xy+xy=\\ x\left( x+y-2 \right) -2y\left( x+y-2 \right) =\\ \left( x-2y \right) \left( x+y-2 \right) \]

P9

观察题,傻逼题.一眼秒.题目过长不描述.

P10

- Subtask 1)

$a<0,\mathtt{simplify }\sqrt { 4-\left( a+\frac { 1 }{ a }  \right) ^{ 2 } } -\sqrt { 4+\left( a+\frac { 1 }{ a }  \right) ^{ 2 } } $.

初中数学很重要的一点,就是范围限定于实数之内.

那么我们可以看到$0\le\left( a+\frac { 1 }{ a }  \right) ^{ 2 }\le4$

那么$-2\le \left( a+\frac { 1 }{ a }  \right) \le 0$

设$A=\left| a \right|$

那么$0\le \left( A+\frac { 1 }{ A }  \right) \le 2$

解最小值得$A=2$.

那么$a=-2$.

代入原式易得答案$-2\sqrt{2}$

- Subtask 2)

$\frac{1}{a}-\left| a\right|=1$,求$\frac{1}{a}+\left| a\right|=1$.

注意到$\left| a\right|$不负,那么问题就好解决了.$\left(\frac{1}{a}+a\right)^2=\left(\frac{1}{a}-a\right)^2+4=5$,原式=$\sqrt{5}$

两道水题.

V587 P11, 其实就是P10 Subtask 2)

P12

已知$\frac { 1 }{ 4 } \left( b-c \right) ^{ 2 }=\left( a-b \right) \left( c-a \right) , a \neq 0$,求$\frac{b+c}{a}$

不得不说这又是一道有趣的题.

$\left( a-b \right) \left( c-a \right) =ac-bc-a^{ 2 }+ab$

于是有

$\frac { 1 }{ 4 } \left( b-c \right) ^{ 2 }=ac-bc-a^{ 2 }+ab$

我们展开来

$\frac { 1 }{ 4 } \left( b^{ 2 }-2bc+c^{ 2 } \right) =ac-bc-a^{ 2 }+ab$

于是移项大法好

$\frac { 1 }{ 4 } \left( b^{ 2 }-2bc+c^{ 2 } \right) +bc=ac-a^{ 2 }+ab$

将$bc$移入括号

$\frac { 1 }{ 4 } \left( b^{ 2 }+2bc+c^{ 2 } \right) =ac-a^{ 2 }+ab$

缩项

$\frac { 1 }{ 4 } \left( b+c \right) ^{ 2 }=a\left( b+c-a \right) $

注意窝萌要求的$\frac{b+c}{a}$,试图整个这家伙出来

$\frac { \left( b+c \right)  }{ a } =\frac { 4\left( b+c-a \right)  }{ b+c } $

我们展开右项

$\frac { \left( b+c \right)  }{ a } =4-\frac { 4a }{ b+c } $

移项(1)

$\frac { \left( b+c \right)  }{ a } +\frac { 4a }{ b+c } =4$

两边平方

$\left( \frac { \left( b+c \right)  }{ a } +\frac { 4a }{ b+c }  \right) ^{ 2 }=4^{ 2 }=16$

展开左项

$\left( \frac { \left( b+c \right) ^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +8+\frac { \left( 4a \right) ^{ 2 } }{ \left( b+c \right) ^{ 2 } }  \right) =16$

两端各减$16$

$\left( \frac { \left( b+c \right) ^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -8+\frac { \left( 4a \right) ^{ 2 } }{ \left( b+c \right) ^{ 2 } }  \right) =0$

回缩左项

$\left( \frac { \left( b+c \right)  }{ a } -\frac { \left( 4a \right)  }{ \left( b+c \right)  }  \right) ^{ 2 }=0$

显然的,

$\left( \frac { \left( b+c \right)  }{ a } -\frac { \left( 4a \right)  }{ \left( b+c \right)  }  \right) =0$

也就是说,

$\frac { b+c }{ a } =\frac { 4a }{ b+c } $ !!!

注意(1),我们可得知,$\frac{b+c}{a}=4/2=2$

很有趣的题目啊.

P13

已知实数$a,b$满足$6^a=2010,335^b=2010$,求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

对数傻逼题.