质数的一些性质

1.当N＞3时，N和N+1中必然有一个数不是质数。
2.质数有无穷多个
证明：质数有有穷个。假设为N个，p1，p2，p3……pn
存在一个数，其为(p1p2p3p4……pn)+1 除以任何质数都不能整除。与之前的N个质数矛盾。
3.存在任意连续的N个数均为合数。（第二种表述方式：相邻素数之间的间隔任意大。）
证明：令a=（n+1）！ 那么（a+1）% 1 = 0，（a+2）% 2 = 0，……（a+n+1）% （n+1） = 0，这之间一共有n个合数。
4.N以内的素数个数随着N增大趋近于logN
5.从不大于N的自然数中随机挑选一个数，它是素数的概率为1/n
6.随着n增大，素数越来越稀疏（整体以上）。
7.区间（a，2a]间至少有一个素数
8.孪生素数猜想：N和N+2都为素数的情况有很多个（3和5,5和7,11和13）
9.哥德巴赫猜想
10.给一个素数，怎么判定？

• 枚举2-之间所有的数，看能否整除。
• 素数筛法：找见一个素数，把它的倍数全部去掉（缺陷：有的数字可能会被筛多次）
  11.素数筛优化：
• 对于一个合数，可以把它写成ab的形式（a为质数，而b有可能为质数也有可能为合数）
  若a>b,这样，ab在之前就已经被b或b的质因子以倍数的形式筛掉了。因此从a开始筛倍数的时候，直接从aa开始筛即可。
  （eg：要筛11的倍数，不用筛22,33……直接从1111=121开始筛即可）
• 确保每一个合数只由一个质数被筛掉（例如：对于30,215,310,56均可以筛掉他，那么选用哪一种方式呢？）
  解决方法：用数组v记录每个数是被哪个质数筛掉的
  依次考虑2-N的每一个数 如果v[i] = i ,即i是质数本身，那么就把他存下来。
  扫描所有小于等于v[i]的质数，令v[ip]=p,在i上累计一个质因子。（p<=v[i],则p是ip的最小质因子。）
  举例：对于5这个数，比他小的质数有：3,2那么，就把v[53]标记为3，v[5*2]标记为2