2nd 2022/5/3-2022/5/4 简单数论学习

Day-1/2:2022/5/3

·1 最大公约数

1. 枚举。。。训算法

2. 质因数分解。。。是个办法，但大材小用，浪费了算法得来的其他数据，时间较慢

3. 欧几里得算法，辗转相除，巧妙消元，时间\(O(\log n)\)

4. 二进制算法？？？

·2 扩展欧几里得

少有此类，但很需要学习

其实是辗转相除换了个方式出现，同样是通过不断缩小元直至特殊解，然后一路推回去

update:2024.10.7

666，666，666

但凡当时静下心来多看了一眼？

以P1082 同余方程为例

求\(ax\equiv 1(mod\space b)\)的一个解

同余不好做，化为\(ax+by=1\)

首先，上式是一个一般式的特殊情况，即\(ax+by=c\)中的\(c=1\)

\(c\)显然是\(\gcd(a,b)\)的倍数，因为\(ax\)，\(by\)都是其倍数

所以在这题中，\(\gcd(a,b)=1\)，a，b互质，想到辗转相除

辗转相除最后一定会带出一组\(b=0\)的情况，而此时显然\(a=1\)，而\(x=1/a(c/a?)\)也就是\(1\)

水飞了，思考如何通过一组已知解构造出一组新解

能发现在\(b=0\)时\(return\)掉后，可以把解回带

于是可以在已知\(b·x_2+(a \mod b)·y_2=c(1)\)的前提下，推出\(ax+by=c(1)\)的解

列得\(ax+by=b·x_2+(a \mod b)·y_2\)

同样的，\(mod\)不好处理，所以化为\(ax+by=b·x_2+(a-\lfloor a/b\rfloor ·b)·y_2\)

因为是求不同的x，y，所以将式子规整为\(ak+bk_2\)的形式

即\(ax+by=a·y_2+b·(x_2-\lfloor a/b\rfloor ·y_2)\)

\(x=y_2\space y=x_2-\lfloor a/b\rfloor ·y_2\)

·3 容斥原理

经常接触，就是减去重复部分，较Easy

·4 欧拉函数

定义即对于一个正整数来说，比它小且和它互质的数的个数，能用欧拉筛法\(O(n)\)

解

·5 筛法：埃氏/欧拉

埃氏简单，即用质数筛去后面肯定不是质数的数

欧拉即埃氏减去重复

（细节：所有数都筛，只用晒质数倍，且只当自己是它的最小质因数才筛它）

·6即·7 欧拉定理

\[a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\space p) \]

·8 威尔逊定理

给出了判断质数的充分必要条件

\[(p-1)!\equiv1(mod\space p) \]

·9 逆元

可转换为exgcd

即

给出a、b，求\(ax\equiv 1(mod\space b)\)

可转换为\(ax+by=1\)中，x的最小值

然后exgcd解~

·10+

以后补，现在知识面不足