杂题乱作

[传智杯 #4 初赛] 小卡与质数 2

? min。降智了。质数的个数是少的，转换成想办法处理质数，变成 \(x \oplus p <x\) 了，这是容易的。

[传智杯 #5 初赛] H-二人的世界

没意思。这什么操作？题解告诉我们搞一些神秘的 map 优化复杂度就能通过本题，应该不难，skip 掉了。

[传智杯 #3 决赛] 序列

套路地，发现或对于一位只有一次从0变1，最多 \(n \log V \log n\) 的复杂度是可以接受的。

凯风快晴　−富士火山−

感觉传智杯的题很 edu 啊，这个跟之前一个模拟赛的题很像。你观察整体结构之后发现从底下往上面，每一层的 dp 值都是越往上越受下面的约束的，然后就可以由上到下单调栈枚举决策点 dp 了。

AT_cf17_final_h

模拟赛T3，看完题解后就非常简单了，赛时没看懂题（？）， 需要在猜想后分成四个小矩形进行讨论。然后DP状态设的是当前卡到的范围的过程的代价，而不是它内部的代价。

Dojave

赛时卡在正难则反这一步了，泵。

这个东西再推两步就可以用哈希解决，对满足内部两两匹配的区间进行计数。也可以用线段树分别维护 \(\bmod 4\) 的位置和（？）进行扫描线。用暴力跳+ST表似乎可以做到线性。

GDOI2020模拟 楼房搭建

反悔贪心。

云斗2025S(T3) 樱花树下

真算一个难题了，25年的题26年才开始补。这个题首先容易想到设出一个 \(O(n^2)\) 的状态，也就是记录当前这个点是什么颜色，然后答案的 \(min\) 值是多少，然后卡住了。实际上一个 trick 是直接把它看成一个函数，

第 \(x\) 朵花若在第 \(t_x\) 秒被摘，它在第 \(1,2,\dots,t_x\) 秒都被观察到，贡献 \(a_x t_x\)。

\(S_i\) 独立集 \(\iff\) 相邻两点 \(t_u\ne t_v\)；\(10^{2025}\) 足够大，等于颜色数不限。

\[\boxed{\ \text{问题} = \text{树的最小和染色：相邻不同色，最小化} \sum_v a_v c_v\ } \]

DP

\[f_v(c)=a_v c+\sum_{u\in son(v)}\min_{c'\ne c}f_u(c') \]

颜色数可达 \(\Delta+1\)，直接做会爆。每个点只需上传：

\[M_u=\min_c f_u(c),\qquad p_u=\arg\min_c f_u(c),\qquad M'_u=\min_{c\ne p_u}f_u(c) \]

因

\[\min_{c'\ne c}f_u(c')=\begin{cases}M_u,&c\ne p_u\\ M'_u,&c=p_u\end{cases} \]

故

\[f_v(c)=a_v c+\sum_u M_u+\sum_{u:\,p_u=c}\bigl(M'_u-M_u\bigr) \]

即 \(f_v\) 是一次函数 \(+\) 若干尖峰，每点只带 \((M_v,p_v,M'_v)\) 上传。

每点 \(O(\deg\log\deg)\)

记 \(C=\sum_u M_u\)，尖峰按颜色合并为 \(H(p)\)：

1. 取最小的两个「无尖峰」颜色 \(c_0<c_1\)；
2. 候选：\(c_0,\ c_1\) 与所有尖峰色 \(p\)（值 \(a_v p+C+H(p)\)）；
3. 取最小 \(\Rightarrow M_v,p_v\)；取「位置 \(\ne p_v\) 的最小」\(\Rightarrow M'_v\)。

答案 \(=M_1\)，复杂度 \(O\left(\sum_v \deg_v\log\deg_v\right)\)，空间 \(O(n)\)。

AT_agc002_f [AGC002F] Leftmost Ball

P12579 [UOI 2021] 哥萨克与 GCD

P7215 [JOISC 2020] 首都

AT_arc078_d [ARC078F] Mole and Abandoned Mine