动态规划详细题解——力扣198.打家劫舍 - 实践

力扣198.打家劫舍

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【LeetCode 198】打家劫舍（Java 动态规划详细题解）

一、题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金。

唯一的限制是：

相邻的两间房屋装有连通的防盗系统，如果在同一晚上闯入相邻的两间房屋，系统会自动报警。

给定一个数组 nums，表示每个房屋的金额，计算在不触动警报的情况下，最多能偷取的金额。

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二、示例

示例 1：

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷 1 号房屋 (金额 = 1)，再偷 3 号房屋 (金额 = 3)，总金额 = 4。

示例 2：

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷 1、3、5 号房屋，金额 = 2 + 9 + 1 = 12。

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三、思路分析

本题是一个典型的动态规划问题。
思考过程如下：

设：

• dp[i] 表示偷到第 i 间房屋时能获得的最大金额。

对于第 i 间房，有两种选择：

1. 不偷第 i 间房：
   那么最大金额就是前一间的最大值，即 dp[i-1]
2. 偷第 i 间房：
   因为相邻房不能同时偷，所以上一个能偷的是 i-2，此时金额为 dp[i-2] + nums[i]

因此，状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

初始状态：

dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])

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四、代码实现（Java）

class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return nums[0];
// 初始化前两个状态
int[] dp = new int[n];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
// 动态规划迭代
for (int i = 2; i < n; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[n - 1];
}
}

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五、空间优化（O(1) 实现）

其实我们不需要整个数组，只需要保存 dp[i-1] 和 dp[i-2]。
因此可以进一步优化：

class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return nums[0];
int prev2 = nums[0];                  // dp[i-2]
int prev1 = Math.max(nums[0], nums[1]); // dp[i-1]
for (int i = 2; i < n; i++) {
int current = Math.max(prev1, prev2 + nums[i]);
prev2 = prev1;
prev1 = current;
}
return prev1;
}
}

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六、复杂度分析

项目	分析
时间复杂度	O(n)，只需一次遍历数组
空间复杂度	O(1)，使用常数个变量

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七、举例推导

以 nums = [2,7,9,3,1] 为例：

房屋编号	金额	计算过程	dp 值
0	2	dp[0]=2	2
1	7	max(2,7)=7	7
2	9	max(7,2+9)=11	11
3	3	max(11,7+3)=11	11
4	1	max(11,11+1)=12	12

最终结果：dp[4] = 12

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八、扩展思考

本题是打家劫舍系列的第一题。后续还可以学习：

题号	名称	特点
198	打家劫舍	直线排列
213	打家劫舍 II	房屋围成环
337	打家劫舍 III	房屋为二叉树结构

掌握这题后，理解后续题型会更加容易。

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九、总结

• 关键在于理解“不能偷相邻房屋” → 状态转移方程；
• 动态规划是最优子结构与重叠子问题的结合；
• 空间优化技巧常用于此类连续依赖的 DP 问题。

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