实用指南：数组&&矩阵理论基础

文章目录

• 普通数组理论基础
• • 1. 数组的基本概念
  • • 1.1 基本术语
    • 1.2 数组的特点
  • 2. 数组的基本操作
  • • 2.1 数组的遍历
    • 2.2 数组的修改
  • 3. 前缀和（Prefix Sum）
  • • 3.1 前缀和的基本概念
    • 3.2 前缀和的构造
    • 3.3 区间和查询
  • 4. 矩阵（二维数组）操作
  • • 4.1 矩阵的基本概念
    • 4.2 矩阵的遍历
    • 4.3 螺旋矩阵
    • • 模板1：螺旋矩阵（遍历）
      • 模板2：螺旋矩阵II（生成）
    • 4.4 矩阵的统计操作
  • 5. 数组操作的时间复杂度
  • 6. 何时使用数组技巧
  • • 6.1 使用场景
    • 6.2 判断标准
  • 7. 数组操作的优缺点
  • • 7.1 优点
    • 7.2 缺点
  • 8. 常见题型总结
  • • 8.1 前缀和类
    • 8.2 矩阵类
    • 8.3 数组基本操作类
  • 9. 总结

普通数组理论基础

1. 数组的基本概念

**数组（Array）**是一种线性数据结构，由相同类型的元素按一定顺序排列而成，通过索引访问元素。

1.1 基本术语

• 索引（Index）：数组中元素的位置，通常从0开始
• 元素（Element）：数组中存储的数据
• 长度（Length）：数组中元素的数量
• 一维数组：线性排列的数组
• 二维数组（矩阵）：按行和列排列的数组

1.2 数组的特点

• 连续内存：数组元素在内存中连续存储
• 随机访问：通过索引可以在O(1)时间内访问任意元素
• 固定大小：数组大小在创建时确定（C++中vector是动态数组）
• 元素覆盖：数组元素不能直接删除，只能覆盖

示例：

一维数组：[1, 2, 3, 4, 5]
索引：     0  1  2  3  4
二维数组（矩阵）：
[1, 2, 3]
[4, 5, 6]
[7, 8, 9]
行索引：0, 1, 2
列索引：0, 1, 2

2. 数组的基本操作

2.1 数组的遍历

一维数组遍历：

// 方式1：索引遍历
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 访问 nums[i]
}
// 方式2：范围遍历
for(int num : nums) {
// 访问 num
}

二维数组遍历：

// 遍历二维数组
for(int i = 0; i < matrix.size(); i++) {
for(int j = 0; j < matrix[i].size(); j++) {
// 访问 matrix[i][j]
}
}

2.2 数组的修改

重要特性：

• 数组元素不能直接删除，只能覆盖
• 删除操作需要将后续元素前移

示例：

// 删除索引为index的元素
void removeElement(int arr[], int &size, int index) {
if(index < 0 || index >= size) {
  return;  // 索引无效
  }
  // 将后续元素前移
  for(int i = index; i < size - 1; i++) {
  arr[i] = arr[i + 1];
  }
  size--;  // 减少数组大小
  }

3. 前缀和（Prefix Sum）

3.1 前缀和的基本概念

前缀和是数组中前i个元素的和，用于快速计算区间和。

定义：

• prefix[i] = arr[0] + arr[1] + ... + arr[i]
• 区间[a, b]的和 = prefix[b] - prefix[a-1]（a > 0）
• 区间[0, b]的和 = prefix[b]

示例：

原数组：[1, 2, 3, 4, 5]
前缀和：[1, 3, 6, 10, 15]
计算区间[1, 3]的和：
prefix[3] - prefix[0] = 10 - 1 = 9
验证：2 + 3 + 4 = 9 ✓

3.2 前缀和的构造

核心思路：

• 遍历数组，累加元素
• 将累加结果存入前缀和数组

模板代码：

// 构造前缀和数组
vector<int> prefix(n);
  int presum = 0;
  for(int i = 0; i < n; i++) {
  presum += arr[i];
  prefix[i] = presum;
  }

3.3 区间和查询

适用场景：多次查询数组的区间和

核心思路：

• 使用前缀和数组快速计算区间和
• 时间复杂度：O(1)（查询），O(n)（预处理）

模板代码：

// LeetCode 58. 区间和
#include <iostream>
  #include <vector>
    using namespace std;
    int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    vector<int> vec(n);      // 输入数组
      vector<int> p(n);        // 前缀和数组
        int presum = 0;
        // 构造前缀和数组
        for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &vec[i]);
        presum += vec[i];
        p[i] = presum;
        }
        // 查询区间和
        while(~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        int sum;
        if(a == 0) {
        sum = p[b];  // 区间[0, b]的和
        } else {
        sum = p[b] - p[a - 1];  // 区间[a, b]的和
        }
        printf("%d\n", sum);
        }
        return 0;
        }

关键点：

• 前缀和数组：p[i]表示前i+1个元素的和
• 区间和计算：[a, b]的和 = p[b] - p[a-1]
• 边界处理：当a=0时，直接使用p[b]
• 时间复杂度：预处理O(n)，查询O(1)

4. 矩阵（二维数组）操作

4.1 矩阵的基本概念

**矩阵（Matrix）**是二维数组，由行和列组成。

基本操作：

• 访问元素：matrix[i][j]（第i行第j列）
• 行数：matrix.size()
• 列数：matrix[0].size()

4.2 矩阵的遍历

按行遍历：

for(int i = 0; i < matrix.size(); i++) {
for(int j = 0; j < matrix[i].size(); j++) {
// 访问 matrix[i][j]
}
}

按列遍历：

for(int j = 0; j < matrix[0].size(); j++) {
for(int i = 0; i < matrix.size(); i++) {
// 访问 matrix[i][j]
}
}

4.3 螺旋矩阵

适用场景：按螺旋顺序遍历或生成矩阵

核心思路：

• 使用循环不变量：每次操作的方法一致（左闭右开）
• 按圈遍历：从外圈到内圈
• 处理边界：单行或单列的特殊情况

模板1：螺旋矩阵（遍历）

适用场景：按螺旋顺序遍历矩阵并输出元素

模板代码：

// LeetCode 54. 螺旋矩阵
class Solution {
public:
vector<int> spiralOrder(vector<vector<int>>& matrix) {
  vector<int> ans;
    int m = matrix.size();
    int n = matrix[0].size();
    int startx = 0, starty = 0;  // 起始位置
    int offset = 1;              // 每圈的偏移量
    int loop = min(m, n) / 2;    // 循环圈数
    // 处理单行或单列
    if(m == 1) {
    return matrix[0];
    }
    if(n == 1) {
    for(int k = 0; k < m; k++) {
    ans.push_back(matrix[k][0]);
    }
    return ans;
    }
    // 按圈遍历（左闭右开）
    while(loop--) {
    int i = startx, j = starty;
    // 第一行：从左到右
    for(; j < n - offset; j++) {
    ans.push_back(matrix[i][j]);
    }
    // 最后一列：从上到下
    for(; i < m - offset; i++) {
    ans.push_back(matrix[i][j]);
    }
    // 最后一行：从右到左
    for(; j > starty; j--) {
    ans.push_back(matrix[i][j]);
    }
    // 第一列：从下到上
    for(; i > startx; i--) {
    ans.push_back(matrix[i][j]);
    }
    startx++;
    starty++;
    offset++;
    }
    // 处理剩余的单行或单列
    if(min(m, n) % 2 == 1) {
    if(m <= n) {
    // 剩余单行
    for(int jj = starty; jj < n - offset + 1; jj++) {
    ans.push_back(matrix[startx][jj]);
    }
    } else {
    // 剩余单列
    for(int ii = startx; ii < m - offset + 1; ii++) {
    ans.push_back(matrix[ii][starty]);
    }
    }
    }
    return ans;
    }
    };

关键点：

• 循环不变量：左闭右开
• 四个方向：右→下→左→上
• 边界处理：单行或单列的特殊情况
• 时间复杂度：O(m × n)，空间复杂度：O(1)

模板2：螺旋矩阵II（生成）

适用场景：生成一个n×n的螺旋矩阵

模板代码：

// LeetCode 59. 螺旋矩阵II
class Solution {
public:
vector<vector<int>> generateMatrix(int n) {
  vector<vector<int>> vec(n, vector<int>(n));
    int startx = 0, starty = 0;  // 起始位置
    int offset = 1;               // 每圈的偏移量
    int count = 1;                // 填充的数字
    int cir = n / 2;              // 循环圈数
    int mid = n / 2;              // 中间位置
    // 按圈填充（左闭右开）
    while(cir--) {
    int i = startx, j = starty;
    // 第一行：从左到右
    for(; j < n - offset; j++) {
    vec[i][j] = count++;
    }
    // 最后一列：从上到下
    for(; i < n - offset; i++) {
    vec[i][j] = count++;
    }
    // 最后一行：从右到左
    for(; j > startx; j--) {
    vec[i][j] = count++;
    }
    // 第一列：从下到上
    for(; i > starty; i--) {
    vec[i][j] = count++;
    }
    startx++;
    starty++;
    offset++;
    }
    // 处理中间元素（n为奇数时）
    if(n % 2) {
    vec[mid][mid] = count;
    }
    return vec;
    }
    };

关键点：

• 循环不变量：左闭右开
• 四个方向填充：右→下→左→上
• 中间元素：n为奇数时需要单独处理
• 时间复杂度：O(n²)，空间复杂度：O(n²)

4.4 矩阵的统计操作

适用场景：统计矩阵的行和、列和等

模板代码：

// 统计矩阵的行和与列和
vector<int> horizontal(n, 0);  // 每行的和
  vector<int> vertical(m, 0);    // 每列的和
    // 统计行和
    for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = 0; j < m; j++) {
    horizontal[i] += matrix[i][j];
    }
    }
    // 统计列和
    for(int j = 0; j < m; j++) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
    vertical[j] += matrix[i][j];
    }
    }

5. 数组操作的时间复杂度

操作	时间复杂度	空间复杂度	说明
访问元素	O(1)	O(1)	通过索引直接访问
遍历数组	O(n)	O(1)	需要访问所有元素
查找元素	O(n)	O(1)	线性查找
插入元素	O(n)	O(1)	需要移动后续元素
删除元素	O(n)	O(1)	需要移动后续元素
前缀和构造	O(n)	O(n)	需要额外空间存储前缀和
区间和查询	O(1)	O(1)	使用前缀和数组
矩阵遍历	O(m × n)	O(1)	m为行数，n为列数
螺旋矩阵	O(m × n)	O(1)	需要遍历所有元素

注意：

• 数组的随机访问是O(1)
• 插入和删除操作需要移动元素，时间复杂度为O(n)
• 前缀和可以优化区间和查询到O(1)

6. 何时使用数组技巧

6.1 使用场景

1. 区间和问题

   • 多次查询数组的区间和
   • 使用前缀和优化查询效率

2. 矩阵遍历问题

   • 螺旋矩阵遍历
   • 矩阵的按行、按列遍历
   • 矩阵的统计操作

3. 数组基本操作

   • 数组的遍历
   • 数组元素的修改
   • 数组的查找

4. 二维数组问题

   • 矩阵的生成
   • 矩阵的旋转、转置
   • 矩阵的统计和计算

6.2 判断标准

当遇到以下情况时，考虑使用数组技巧：

• 需要多次查询区间和 → 使用前缀和
• 需要按特殊顺序遍历矩阵 → 使用螺旋矩阵技巧
• 需要统计矩阵的行和、列和 → 使用矩阵统计
• 需要快速访问元素 → 利用数组的随机访问特性

示例：

// 问题：多次查询数组的区间和
// 暴力解法：每次查询O(n)
for(int i = a; i <= b; i++) {
sum += arr[i];
}
// 前缀和解法：预处理O(n)，查询O(1)
vector<int> prefix(n);
  // 构造前缀和数组
  for(int i = 0; i < n; i++) {
  prefix[i] = (i == 0 ? arr[i] : prefix[i-1] + arr[i]);
  }
  // 查询区间和
  int sum = prefix[b] - (a > 0 ? prefix[a-1] : 0);

7. 数组操作的优缺点

7.1 优点

• 随机访问：通过索引可以在O(1)时间内访问任意元素
• 内存连续：数组元素在内存中连续存储，访问效率高
• 实现简单：数组操作逻辑清晰，易于实现
• 前缀和优化：可以将区间和查询优化到O(1)

7.2 缺点

• 固定大小：数组大小在创建时确定（C++中vector是动态数组）
• 插入删除慢：插入和删除操作需要移动元素，时间复杂度为O(n)
• 空间限制：需要连续的内存空间
• 无法直接删除：数组元素不能直接删除，只能覆盖

8. 常见题型总结

8.1 前缀和类

1. 区间和查询

   • 使用前缀和数组快速计算区间和
   • 时间复杂度：预处理O(n)，查询O(1)

2. 子数组和问题

   • 结合前缀和和哈希表
   • 可以解决子数组和等于k的问题

8.2 矩阵类

1. 螺旋矩阵

   • 按螺旋顺序遍历或生成矩阵
   • 使用循环不变量（左闭右开）

2. 矩阵统计

   • 统计矩阵的行和、列和
   • 矩阵的旋转、转置

3. 矩阵遍历

   • 按行遍历、按列遍历
   • 对角线遍历等特殊遍历方式

8.3 数组基本操作类

1. 数组遍历

   • 一维数组遍历
   • 二维数组遍历

2. 数组修改

   • 元素的覆盖
   • 元素的移动

9. 总结

普通数组是基础的数据结构，掌握数组的基本操作和常用技巧对于解决算法问题至关重要。

核心要点：

1. 数组特性：连续内存、随机访问、元素覆盖
2. 前缀和：用于优化区间和查询，预处理O(n)，查询O(1)
3. 矩阵操作：螺旋矩阵、矩阵统计、矩阵遍历
4. 时间复杂度：访问O(1)，遍历O(n)，插入删除O(n)
5. 空间复杂度：通常为O(1)或O(n)

使用建议：

• 区间和问题优先考虑前缀和
• 矩阵遍历问题考虑螺旋矩阵技巧
• 注意数组的边界条件
• 利用数组的随机访问特性
• 合理使用循环不变量

常见题型总结：

• 前缀和类：区间和查询、子数组和问题
• 矩阵类：螺旋矩阵、矩阵统计、矩阵遍历
• 数组基本操作：数组遍历、数组修改