【算法通关指南：数据结构与算法篇（五）】树的 “自我介绍”：从递归定义到存储绝技（vector vs 链式前向星） - 详解

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文章目录

• 前言
• 一、 树的概念
• • 1.1 树的定义
  • 1.2 树的基本术语
  • 1.3 有序树和无序树
  • 1.4 有根树和无根树
• 二、树的存储
• • 2.1 孩子表示法
  • 2.2 实现方式
  • • 2.2.1 vector数组实现
    • • 2.2.1.1 方法解析
      • 2.2.1.2代码
    • 2.2.2 链式前向星
    • • 2.2.2.1 方法解析
      • 2.2.2.2代码
  • 2.3 两种方式的对比和总结
• 总结与每日励志

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前言

本专栏聚焦算法题实战，系统讲解算法模块：以《c++编程》，《数据结构和算法》《基础算法》《算法实战》 等几个板块以题带点，讲解思路与代码实现，帮助大家快速提升代码能力
ps:本章节题目分两部分，比较基础笔者只附上代码供大家参考，其他的笔者会附上自己的思考和讲解，希望和大家一起努力见证自己的算法成长

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一、 树的概念

1.1 树的定义

树型结构是⼀类重要的 非线性数据结构
• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
•除根结点外，其余结点被分成 个互不相交的集合，其中每⼀个集合 又是⼀棵树，称这棵树为根节点的子树。
结论：树是递归定义的

1.2 树的基本术语

• 结点的度 ：树中一个结点孩子的个数称为该结点的度。
• 树的度 ：树中结点最大的度数称为树的度
• 树的高度（深度） ：树中结点的最大层数称为树的高度(深度）
• 路径 ：树中两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的结点序列构成的，路径长度为序列中边的个数（且为最短路）

1.3 有序树和无序树

• 有序树 ：结点的子树按照从左往右的顺序排列，不能更改
• 无序树 ：结点的子树之间没有顺序，随意更改

1.4 有根树和无根树

• 有根树 ：树的根节点已知，是固定的
• 无根树：树的根节点未知，谁都可以是根结点
注 ：这个认知主要会影响我们对于树的存储。在存储树结构的时候，我们 最重要的就是要存下逻辑关系 ，如果是无根树，父子关系不明确，此时我们需要把所有的情况都存下来。如a和b之间有⼀条边，我们不仅要存a有⼀个孩子b，也要存b有⼀个孩子a。 （有时有根数也需要这样存储）

二、树的存储

树结构相对线性结构来说就比较复杂。存储时，既要保存值域，也要保存结点与结点之间的关系。实际中树有很多种存储⽅式：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。现阶段，我们只要掌握孩子表示法，学会用孩子表示法存储树，并且在此基础上遍历整棵树。后续会在并查集中学习双亲表示法。至于其它存储形式，在学习算法阶段不要求掌握，笔者将在C++其他系列展现。

2.1 孩子表示法

孩子表示法是将每个结点的孩子信息存储下来。
如果是在无根树中，父子关系不明确，我们会将与该结点相连的所有的点都存储下来。

2.2 实现方式

2.2.1 vector数组实现

2.2.1.1 方法解析

vector是可变长数组，如果只涉及尾插，效率还是可以的。而树结构这种⼀对多的关系，正好可以利用尾插，把所有的关系全部存起来
• 因此，可以创建⼀个大小为n + 1的vector数组edges[n + 1]。
• 其中 edges[i] 里面就保存着 i 号结点所连接的结点

2.2.1.2代码

#include <iostream>
  #include <vector>
    using namespace std;
    const int N = 1e5 + 10;
    vector<int> edges[N];
      int main()
      {
      int n;
      cin >> n;
      for (int i = 1; i < n; i++)
      {
      int a, b;
      cin >> a >> b;
      //a和b之间有⼀条边
      edges[a].push_back(b);
      edges[b].push_back(a);
      }
      return 0;
      }

2.2.2 链式前向星

2.2.2.1 方法解析

链式前向星的本质就是用***数组来模拟链表***，可以回顾博主之前的文章
本质 ：其实就是把b 头插到a 所在的链表后⾯

2.2.2.2代码

#include <iostream>
  using namespace std;
  const int N = 1e5 + 10;
  // 链式前向星
  int h[N], e[N * 2], ne[N * 2], id;
  int n;
  // 其实就是把b头插到a所在的链表后⾯执行一次头插操作
  void add(int a, int b)
  {
  id++;
  e[id] = b;
  ne[id] = h[a];
  h[a] = id;
  }
  int main()
  {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i < n; i++)
  {
  int a, b; cin >> a >> b;
  // a和b之间有⼀条边
  add(a, b); add(b, a);
  }
  return 0;
  }

2.3 两种方式的对比和总结

关于vector数组以及链式前向星：
• 前者由于用到了容器vector， 实际运行起来相比较于后者更耗时，因为vector是动态实现的
• 但是在如今的算法学习与刷题中，一般不会无聊到卡这种常数时间。也就是vector虽然慢，但不会因此而超时
总结：做题的时候，选择一种自己喜欢的方式即可

总结与每日励志

✨ 本文介绍了树的基本概念与存储方法。主要内容包括：1. 树结构的定义与术语（如度、高度、路径等）；2. 有序树与无序树的区别；3. 有根树与无根树的特性；4. 重点讲解了树的两种存储方式：vector数组实现和链式前向星实现，并比较了它们的优缺点。文章指出，虽然vector实现效率稍低，但在算法实践中两种方式都适用。全文旨在帮助读者理解树结构的基本概念，掌握其存储实现方法，为算法学习打下基础。