C++进阶：（七）红黑树深度解析与 C++ 建立

2025-12-03 17:07 tlnshuju 阅读(0) 评论(0) 收藏举报

前言

在数据结构与算法领域，平衡二叉搜索树是解决高效查找、插入、删除操作的核心数据结构。AVL 树作为经典的平衡二叉搜索树，通过严格控制左右子树的高度差不超过 1，保证了 O (logN) 的时间复杂度，但频繁的旋转操作导致插入和删除效率偏低。红黑树则通过颜色约束实现 “近似平衡”，在保证 O (logN) 时间复杂度的前提下，大幅减少了旋转次数，成为工业界的首选 ——C++ STL 中的 set、map 等容器底层均采用红黑树实现。
本文将从红黑树的核心概念出发，详细拆解其规则约束、平衡原理、插入逻辑、代码实现及验证方法。下面就让我们正式开始吧！

一、红黑树的核心概念

1.1 红黑树的定义

红黑树是一棵二叉搜索树，在每个结点中增加一个存储位表示颜色（红色或黑色）。通过对从根到叶子的所有路径施加颜色约束，确保没有一条路径的长度超过其他路径的 2 倍，从而实现 “近似平衡”。

二叉搜索树的基础特性：对于任意结点，其左子树中所有结点的关键字均小于该结点的关键字，右子树中所有结点的关键字均大于该结点的关键字。红黑树继承了这一特性，因此查找操作可直接复用二叉搜索树的逻辑。

1.2 红黑树的五大规则

红黑树的平衡特性由以下五条规则严格约束（参考《算法导论》中的定义）：

每个结点的颜色只能是红色或黑色；
根结点必须是黑色；
所有叶子结点（包括空结点）必须是黑色；
如果一个结点是红色，那么它的两个子结点必须是黑色（无连续红色结点）；
对于任意一个结点，从该结点到其所有后代 NIL 结点的简单路径上，包含的黑色结点数量相同（黑高一致）。

说明：

NIL 结点是逻辑上的空结点，用于统一路径处理逻辑，在实际实现中是可以省略的（通过 nullptr 标识），但需在思维上保留该概念；
规则 3 和规则 5 是红黑树平衡的核心，规则 4 则是避免路径过长的关键约束。

1.3 红黑树的平衡原理

红黑树通过规则约束，确保最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍，其推导过程如下：

定义 “黑高（bh）”：从某结点到其后代 NIL 结点的路径上，黑色结点的数量（不包含当前结点）；
由规则 5 可知，所有根到 NIL 结点的路径黑高一致，设根结点的黑高为 bh；
最短路径：全由黑色结点组成（无红色结点），长度为 bh（路径上的结点数）；
最长路径：红黑结点交替出现（由规则 4 限制，无连续红色结点），长度为 2*bh（红色结点数 = 黑色结点数）；
由此可得：最短路径长度 ≤ 任意路径长度 ≤ 2 * 最短路径长度，即红黑树是 “近似平衡” 的。

1.4 红黑树的效率分析

红黑树的时间复杂度由其高度决定，设树中结点数为 N，高度为 h：

由二叉搜索树特性：N ≥ 2^bh - 1（全黑路径对应的满二叉树结点数）；
由最长路径约束：h ≤ 2*bh；
推导可得：h ≈ logN，因此查找、插入、删除操作的最坏时间复杂度均为 O (logN)。

与 AVL 树对比：

特性	红黑树	AVL 树
平衡条件	颜色约束（近似平衡）	高度差≤1（严格平衡）
旋转次数	插入最多 2 次旋转	插入最多 2 次旋转
删除次数	删除最多 3 次旋转	删除最多 logN 次旋转
适用场景	频繁插入 / 删除的场景	频繁查找的场景

红黑树的优势在于对平衡的要求相对宽松，因此在插入和删除操作中需要的旋转次数更少，更加适合频繁修改数据的场景。

二、红黑树的结构设计

红黑树的结点需要存储关键字、颜色、左右子指针及父指针（父指针用于向上回溯调整平衡），采用模板类设计以支持任意可比较类型的关键字。

2.1 结点结构定义

// 颜色枚举
enum Colour {
    RED,    // 红色结点
    BLACK   // 黑色结点
};
// 红黑树结点模板类
template
struct RBTreeNode {
    pair _kv;                  // 关键字-值对
    RBTreeNode* _left;         // 左子指针
    RBTreeNode* _right;        // 右子指针
    RBTreeNode* _parent;       // 父指针（用于平衡调整）
    Colour _col;                     // 结点颜色
    // 构造函数
    RBTreeNode(const pair& kv)
        : _kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _col(RED) {}               // 新增结点默认红色（关键设计）
};

关键说明：

新增结点默认设为红色：若设为黑色，会直接破坏规则 5（黑高一致），而红色结点仅可能破坏规则 4（连续红色结点），后者更容易调整；
父指针是红黑树平衡调整的核心：插入或删除后需要向上回溯父结点、祖父结点、叔叔结点的颜色和位置关系。

2.2 红黑树类的框架

红黑树类包含根结点指针，以及插入、查找、验证等核心成员函数：

template
class RBTree {
    typedef RBTreeNode Node;   // 结点类型别名
public:
    // 构造函数
    RBTree() : _root(nullptr) {}
    // 插入操作
    bool Insert(const pair& kv);
    // 查找操作
    Node* Find(const K& key);
    // 验证红黑树合法性
    bool IsBalance();
private:
    // 右单旋（与AVL树旋转逻辑一致）
    void RotateR(Node* parent);
    // 左单旋（与AVL树旋转逻辑一致）
    void RotateL(Node* parent);
    // 递归验证红黑树规则
    bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum);
private:
    Node* _root;  // 根结点指针
};

2.3 旋转操作实现

红黑树的旋转操作是与 AVL 树完全一致的，目的是调整子树结构以恢复平衡，无需修改结点颜色（颜色调整单独处理）。旋转操作分为右单旋和左单旋。

2.3.1 右单旋（RotateR）

当左子树过高时，通过右单旋将左子树的根结点提升为新的父结点，原父结点变为新根的右子结点。

template
void RBTree::RotateR(Node* parent) {
    Node* subL = parent->_left;      // 左子树的根结点
    Node* subLR = subL->_right;      // 左子树的右孩子
    // 1. 处理subLR与parent的关系
    parent->_left = subLR;
    if (subLR != nullptr) {
        subLR->_parent = parent;
    }
    // 2. 处理subL与parent父结点的关系
    Node* parentParent = parent->_parent;
    if (parentParent == nullptr) {
        // parent是根结点，旋转后subL成为新根
        _root = subL;
    } else if (parent == parentParent->_left) {
        // parent是左孩子
        parentParent->_left = subL;
    } else {
        // parent是右孩子
        parentParent->_right = subL;
    }
    subL->_parent = parentParent;
    // 3. 处理subL与parent的关系
    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;
}

2.3.2 左单旋（RotateL）

当右子树过高时，通过左单旋将右子树的根结点提升为新的父结点，原父结点变为新根的左子结点。

template
void RBTree::RotateL(Node* parent) {
    Node* subR = parent->_right;      // 右子树的根结点
    Node* subRL = subR->_left;        // 右子树的左孩子
    // 1. 处理subRL与parent的关系
    parent->_right = subRL;
    if (subRL != nullptr) {
        subRL->_parent = parent;
    }
    // 2. 处理subR与parent父结点的关系
    Node* parentParent = parent->_parent;
    if (parentParent == nullptr) {
        // parent是根结点，旋转后subR成为新根
        _root = subR;
    } else if (parent == parentParent->_left) {
        // parent是左孩子
        parentParent->_left = subR;
    } else {
        // parent是右孩子
        parentParent->_right = subR;
    }
    subR->_parent = parentParent;
    // 3. 处理subR与parent的关系
    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;
}

旋转操作的要点：

旋转时需维护父指针的指向，避免出现悬空指针；
旋转仅调整结构，不改变结点颜色，也不破坏二叉搜索树的特性。

三、红黑树的插入实现

红黑树的插入流程分为两步：

① 按二叉搜索树规则插入结点；

② 调整结点颜色和结构，恢复红黑树规则。

3.1 插入的基础流程

若树为空，直接创建根结点并设为黑色（满足规则 2）；
若树非空，按二叉搜索树规则找到插入位置，创建新结点（默认红色）并插入；
插入后检查红黑树规则：

若新结点的父结点为黑色，规则未被破坏，插入结束；
若新结点的父结点为红色，破坏规则 4（连续红色结点），需进行平衡调整。

3.2 平衡调整的核心场景

插入调整的关键在于分析新结点（cur）、父结点（parent）、祖父结点（grandfather）、叔叔结点（uncle）的颜色和位置关系。由于父结点为红色，祖父结点必为黑色（规则 4 不允许连续红色），因此核心变量是叔叔结点的颜色。

为了简化分析，我们定义以下标识：

cur：新增结点（红色）；
parent：cur 的父结点（红色）；
grandfather：parent 的父结点（黑色）；
uncle：parent 的兄弟结点（祖父结点的另一个子结点）。

根据 parent 是 grandfather 的左孩子或右孩子，以及 uncle 的颜色，下面我们将平衡调整问题分为三大场景，每个场景对应不同的调整策略。

场景 1：叔叔结点存在且为红色（变色调整）

条件：parent 为红，grandfather 为黑，uncle 存在且为红。

问题：cur 与 parent 连续红色（破坏规则 4）。

调整策略：

将 parent 和 uncle 设为黑色；
将 grandfather 设为红色；
把 grandfather 作为新的 cur，向上回溯调整（可能 grandfather 的父结点也是红色）。

调整原理：

parent 和 uncle 变黑，保证了原路径的黑高不变（满足规则 5）；
grandfather 变红，可能导致其与父结点连续红色，因此需要继续向上调整；
若 grandfather 是根结点，调整后需将其设为黑色（满足规则 2）。

代码片段：

// 假设parent是grandfather的左孩子
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED) {
    // 场景1：叔叔存在且为红，变色调整
    parent->_col = BLACK;
    uncle->_col = BLACK;
    grandfather->_col = RED;
    // 向上回溯
    cur = grandfather;
    parent = cur->_parent;
}

场景 2：叔叔结点不存在或为黑色（单旋 + 变色）

条件：parent 为红，grandfather 为黑，uncle 不存在或为黑，且 cur 与 parent 同方向（cur 是 parent 的左孩子，parent 是 grandfather 的左孩子；或 cur 是 parent 的右孩子，parent 是 grandfather 的右孩子）。

问题：cur 与 parent 是连续红色的，并且无法通过单纯变色解决（uncle 为黑，变色会破坏规则 5）。

调整策略：

以 grandfather 为旋转中心，进行单旋（parent 是左孩子则右旋，parent 是右孩子则左旋）；
将 parent 设为黑色（新的子树根结点）；
将 grandfather 设为红色。

调整原理：

旋转后 parent 成为子树根结点，设为黑色保证黑高不变；
grandfather 成为 parent 的子结点，设为红色避免连续红色；
调整后无需向上回溯（parent 的父结点若存在，必为黑色，否则之前会被处理）。

代码片段（parent 是 grandfather 的左孩子，cur 是 parent 的左孩子）：

else if (cur == parent->_left) {
    // 场景2：单旋（右旋）+ 变色
    RotateR(grandfather);
    parent->_col = BLACK;
    grandfather->_col = RED;
    break;  // 调整完成，无需向上回溯
}

代码片段（parent 是 grandfather 的右孩子，cur 是 parent 的右孩子）：

else if (cur == parent->_right) {
    // 场景2：单旋（左旋）+ 变色
    RotateL(grandfather);
    parent->_col = BLACK;
    grandfather->_col = RED;
    break;
}

场景 3：叔叔结点不存在或为黑色（双旋 + 变色）

条件：parent 为红，grandfather 为黑，uncle 不存在或为黑，且 cur 与 parent 反方向（cur 是 parent 的右孩子，parent 是 grandfather 的左孩子；或 cur 是 parent 的左孩子，parent 是 grandfather 的右孩子）。

问题：cur 与 parent 连续红色，且单旋无法直接调整（cur 在 parent 的另一侧）。

调整策略：

以 parent 为旋转中心，进行一次单旋（cur 是 parent 的右孩子则左旋，cur 是 parent 的左孩子则右旋），将 cur 调整到 parent 的位置；
以 grandfather 为旋转中心，进行二次单旋（与场景 2 一致）；
将 cur 设为黑色（新的子树根结点）；
将 grandfather 设为红色。

调整原理：

第一次旋转将 cur 与 parent 的位置互换，转化为场景 2 的情况；
第二次旋转调整结构，cur 设为黑色保证黑高不变；
调整后无需向上回溯。

代码片段（parent 是 grandfather 的左孩子，cur 是 parent 的右孩子）：

else {
    // 场景3：双旋（先左旋parent，再右旋grandfather）+ 变色
    RotateL(parent);
    RotateR(grandfather);
    cur->_col = BLACK;
    grandfather->_col = RED;
    break;
}

代码片段（parent 是 grandfather 的右孩子，cur 是 parent 的左孩子）：

else {
    // 场景3：双旋（先右旋parent，再左旋grandfather）+ 变色
    RotateR(parent);
    RotateL(grandfather);
    cur->_col = BLACK;
    grandfather->_col = RED;
    break;
}

3.3 完整插入代码实现

template
bool RBTree::Insert(const pair& kv) {
    // 步骤1：空树处理
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;  // 根结点必须为黑色
        return true;
    }
    // 步骤2：按二叉搜索树规则查找插入位置
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (cur->_kv.first < kv.first) {
            // 关键字大于当前结点，向右走
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
            // 关键字小于当前结点，向左走
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 关键字已存在，插入失败
            return false;
        }
    }
    // 步骤3：创建新结点并插入
    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED;  // 新增结点默认红色
    if (parent->_kv.first < kv.first) {
        parent->_right = cur;
    } else {
        parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
    // 步骤4：平衡调整（父结点为红色时才需要调整）
    while (parent != nullptr && parent->_col == RED) {
        Node* grandfather = parent->_parent;  // 祖父结点必为黑色
        if (parent == grandfather->_left) {
            // 情况A：parent是grandfather的左孩子
            Node* uncle = grandfather->_right;
            if (uncle != nullptr && uncle->_col == RED) {
                // 场景1：叔叔存在且为红，变色调整
                parent->_col = BLACK;
                uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                // 向上回溯
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            } else {
                // 场景2和3：叔叔不存在或为黑，旋转+变色
                if (cur == parent->_left) {
                    // 场景2：cur是parent的左孩子，右单旋
                    RotateR(grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                } else {
                    // 场景3：cur是parent的右孩子，双旋
                    RotateL(parent);
                    RotateR(grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;  // 调整完成，无需向上回溯
            }
        } else {
            // 情况B：parent是grandfather的右孩子（与左孩子对称）
            Node* uncle = grandfather->_left;
            if (uncle != nullptr && uncle->_col == RED) {
                // 场景1：叔叔存在且为红，变色调整
                parent->_col = BLACK;
                uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                // 向上回溯
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            } else {
                // 场景2和3：叔叔不存在或为黑，旋转+变色
                if (cur == parent->_right) {
                    // 场景2：cur是parent的右孩子，左单旋
                    RotateL(grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                } else {
                    // 场景3：cur是parent的左孩子，双旋
                    RotateR(parent);
                    RotateL(grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;  // 调整完成，无需向上回溯
            }
        }
    }
    // 确保根结点始终为黑色（可能在场景1中被设为红色）
    _root->_col = BLACK;
    return true;
}

3.4 插入代码关键要点

根结点最终必须设为黑色：场景 1 中可能将根结点设为红色，因此插入结束后需强制将根结点设为黑色；
回溯终止条件：parent 为空（cur 成为根结点）或 parent 为黑色（规则 4 不再被破坏）；
对称处理：parent 是 grandfather 的左孩子和右孩子的逻辑对称，仅需调整旋转方向和叔叔结点的位置；
新结点默认红色：这是红黑树插入效率高的关键设计，避免直接破坏规则 5。

四、红黑树的查找与验证实现

4.1 查找操作实现

红黑树的查找逻辑与二叉搜索树完全一致，利用其 “左小右大” 的特性遍历树即可，时间复杂度为 O (logN)。

template
typename RBTree::Node* RBTree::Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (cur->_kv.first < key) {
            // 关键字大于当前结点，向右走
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_kv.first > key) {
            // 关键字小于当前结点，向左走
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 找到目标结点
            return cur;
        }
    }
    // 未找到
    return nullptr;
}

4.2 红黑树的验证实现

红黑树的验证需检查所有规则是否满足，核心是规则 4（无连续红色结点）和规则 5（黑高一致）。验证流程如下：

根结点必须为黑色；
前序遍历检查无连续红色结点；
计算所有路径的黑高，确保一致。

4.2.1 验证辅助函数（Check）

递归遍历树，检查连续红色结点和黑高一致性：

template
bool RBTree::Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) {
    // 递归到空结点，检查当前路径黑高是否与参考黑高一致
    if (root == nullptr) {
        if (blackNum != refNum) {
            cout << "错误：存在黑高不一致的路径，当前黑高=" << blackNum << "，参考黑高=" << refNum << endl;
            return false;
        }
        return true;
    }
    // 检查连续红色结点（当前结点为红，父结点也为红）
    if (root->_col == RED && root->_parent != nullptr && root->_parent->_col == RED) {
        cout << "错误：存在连续红色结点，关键字=" << root->_kv.first << endl;
        return false;
    }
    // 遇到黑色结点，黑高计数+1
    if (root->_col == BLACK) {
        blackNum++;
    }
    // 递归检查左右子树
    return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}

4.2.2 验证主函数（IsBalance）

计算参考黑高（根结点到最左路径的黑高），调用辅助函数进行验证：

template
bool RBTree::IsBalance() {
    // 空树视为平衡
    if (_root == nullptr) {
        return true;
    }
    // 检查根结点是否为黑色
    if (_root->_col != BLACK) {
        cout << "错误：根结点不是黑色" << endl;
        return false;
    }
    // 计算参考黑高（根结点到最左路径的黑高）
    int refNum = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (cur->_col == BLACK) {
            refNum++;
        }
        cur = cur->_left;
    }
    // 递归检查所有路径
    int blackNum = 0;
    return Check(_root, blackNum, refNum);
}

验证函数说明：

参考黑高选择根结点到最左路径的黑高，可任意选择一条路径作为参考；
递归过程中，blackNum 记录当前路径的黑高，refNum 为参考黑高；
若存在连续红色结点或黑高不一致，则直接返回 false 并输出错误信息。

五、红黑树的应用与扩展

5.1 红黑树的工业应用

C++ STL 容器：set、map、multiset、multimap 的底层实现；
Linux 内核：进程调度中的 CFS 调度器（使用红黑树管理进程优先级）；
数据库：MySQL 的 B + 树索引底层使用红黑树维护索引结构；
缓存系统：用于高效管理缓存数据的插入、删除和查找。

5.2 红黑树的扩展（删除操作）

红黑树的删除操作比插入更为复杂，核心难点在于删除黑色结点后会破坏规则 5（黑高一致），需要通过 “双重黑色” 结点的概念进行调整。在这我就不详细讲解了，大家感兴趣的话可以参考《算法导论》第 13 章或《STL 源码剖析》的相关内容进行学习。

简单说一下删除操作的核心思路：

按二叉搜索树规则删除结点，找到替代结点（中序后继或前驱）；
若删除的是红色结点，直接删除，规则未被破坏；
若删除的是黑色结点，需调整以恢复黑高一致，可能涉及变色、旋转或向上回溯。

总结

红黑树的核心难点在于插入后的平衡调整，需重点掌握三大场景的处理逻辑：叔叔结点为红时的变色调整、叔叔结点为黑或不存在时的单旋 + 变色和双旋 + 变色。通过反复练习和调试代码，相信大家一定可以逐步理解红黑树的平衡原理。感谢大家的支持！

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