线代一轮复习 - 教程

文章目录

• • 文章目录
• 1、行列式
• • 1.1 性质
  • 1.2 行列式展开公式
  • 1.3 特殊行列式
  • 1.4 克拉默法则
• 2、矩阵
• • 2.1 矩阵多项式
  • 2.2 运算法则
  • • (1) 加法
    • (2) 数乘矩阵
    • (3) 乘法
    • (4) 转置
  • 2.3 对角矩阵的性质与运算
  • 2.4 伴随矩阵
  • 2.4 可逆矩阵的概念与定理
• 3、向量
• • 3.1线性组合和线性表示
  • 3.2 线性相关与线性无关
  • 3.3 向量组的秩
  • 3.4 极大无关组
  • 3.5 内积
  • • 3.5.1 定义与性质
    • 3.5.2 主要性质
  • 3.6 正交向量组
  • • 3.6.1 基本概念
    • 3.6.2 重要定理
• 4、线性方程组
• • 4.1 非齐次
  • 4.2 齐次线性方程组解的判定
  • 4.3齐次线性方程组的解的结构
  • 4.4非齐次线性方程组的解的结构
• 5. 特征值和特征向量
• • 5.1 基本概念与定理
  • 5.2 矩阵对角化
  • 5.3 特征值与特征向量的若干结论
• 6、二次型
• • 6.1 标准型
  • 6.2 合同

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文章目录

1、行列式

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1.1 性质

1. 转置性质
   行列式转置后值不变：
   $$|A^T|=|A|$$

2. 行/列互换
   两行（或列）互换，行列式变号。若两行（或列）相同，行列式为0。

3. 公因子提取
   某行（或列）有公因子$k$，可提出：

   • 推论1：某行（或列）全为0，行列式为0。
   • 推论2：两行（或列）成比例，行列式为0。

4. 行列式拆分
   若某行（或列）为两元素之和，可拆分为两个行列式之和：
   $$\left|\begin{array}{cc}{a}_1+b_1& \cdots \\ ⋮& \ddots \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& \cdots \\ ⋮& \ddots \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{b}_1& \cdots \\ ⋮& \ddots \end{array}\right|$$

5. 倍加性质
   某行（或列）的$k$倍加到另一行（或列），行列式值不变。

1.2 行列式展开公式

1. 余子式与代数余子式

   • 余子式$M_{ij}$：划去$a_{ij}$所在行、列得到的$(n-1)$阶行列式。
   • 代数余子式$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。

2. 展开定理

   • 定理1.1：行列式可按任意行（列）展开：
     $$|A|=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}\text{（按第i行展开）}$$

     $$|A|=\sum _{k=1}^n{a}_{kj}{A}_{kj}\text{（按第j列展开）}$$

   • 定理1.2：不同行（列）的代数余子式乘积和为0：
     $$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0(i\ne j)$$

1.3 特殊行列式

1. 三角形行列式
   上（下）三角行列式等于主对角线元素乘积：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ & \ddots & ⋮\\ 0& & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

2. 副对角线行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}0& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1}$$

3. 分块行列式（拉普拉斯展开）

• 若$A$为$m$阶，$B$为$n$阶矩阵：
  $$\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$

  $$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A|\cdot |B|$$

4. 范德蒙行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ x_1& \cdots & x_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$$

注：

1.4 克拉默法则

定理1.3（克拉默法则）

对于由 ( n ) 个方程、( n ) 个未知量构成的非齐次线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
若其系数行列式 ($|A|\ne 0$)，则方程组有唯一解：
$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|},i=1,2,\cdots ,n$$
其中 ($|A_i|$) 是将 $(|A|$) 的第 ($i$) 列替换为常数项 ($b_1,b_2,\cdots ,b_n$) 所得的行列式。

注：

1. 唯一解条件：仅当 ($|A|\ne 0$) 时适用。
2. 特殊情况：
   • 若 ( $|A| = 0 $)，方程组可能无解或有无穷多解，但不可能有唯一解。

推论（齐次线性方程组）

对于齐次线性方程组（常数项全为0）：

• 若 ( $|A|\ne 0$)，方程组仅有零解 ($x_1=x_2=\cdots =x_n=0$)。
• 若 ($|A|=0$)，方程组存在非零解（无穷多解）。

2、矩阵

2.1 矩阵多项式

2.2 运算法则

(1) 加法

设 $A$, $B$, $C$为同型矩阵，则：

• 交换律：$A+B=B+A$
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
• 零矩阵：$A+O=A$（$O$为同型零矩阵）
• 负矩阵：$A+(-A)=O$

(2) 数乘矩阵

设 $k$, $m$为标量，则：

• 结合性：$k(mA)=(km)A=m(kA)$
• 分配律：$(k+m)A=kA+mA$
• 线性性：$k(A+B)=kA+kB$
• 单位数乘：$1A=A$, $0A=O$

(3) 乘法

若矩阵 $A$, $B$, $C$满足乘法条件，则：

• 结合律：$(AB)C=A(BC)$
• 左分配律：$A(B+C)=AB+AC$
• 右分配律：$(B+C)A=BA+CA$

(4) 转置

• 和的转置：$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• 数乘转置：$(kA{)}^T=k{A}^T$
• 积的转置：$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• 转置的转置：$(A^T{)}^T=A$

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注：矩阵乘法一般不满足交换律（即$AB\ne BA$）。

2.3 对角矩阵的性质与运算

对角矩阵乘法

两个对角矩阵相乘结果仍为对角矩阵，且元素为对应位置相乘:
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& 0& 0\\ & & \\ 0& a_2& 0\\ & & \\ 0& 0& a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& 0& 0\\ & & \\ 0& b_2& 0\\ & & \\ 0& 0& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& 0& 0\\ & & \\ 0& a_2{b}_2& 0\\ & & \\ 0& 0& a_3{b}_3\end{array}\right]$$

性质

1. 交换律
   对角矩阵乘法可交换：${\Lambda }_1{\Lambda }_2={\Lambda }_2{\Lambda }_1$。

2. 逆矩阵
   若对角元素均非零（$a_i\ne 0$），其逆矩阵为元素取倒数：

$${\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& 0& 0\\ & & \\ 0& a_2& 0\\ & & \\ 0& 0& a_3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{a_1}& 0& 0\\ & & \\ 0& \frac{1}{a_2}& 0\\ & & \\ 0& 0& \frac{1}{a_3}\end{array}\right]$$

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2.4 伴随矩阵

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵（$n\ge 2$），其伴随矩阵$A^{\ast }$（或记作 $\text{adj}(A)$）定义为：
$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ & & & \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$
其中 $A_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式（Cofactor），即：
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij},$$
$M_{ij}$ 是 $A$ 删去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$阶子矩阵的行列式。

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伴随矩阵的公式：

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$ ($|A|\ne 0$)

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

$(A^{\ast }{)}^{\top }=(A^{\top }{)}^{\ast }$

$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$ ($n\ge 2$)

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2.4 可逆矩阵的概念与定理

定义 设 $A$ 是 $n$阶矩阵，要是存在$n$ 阶矩阵 $B$ 使得

$AB=BA=E$（单位矩阵）

成立，则称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵，$B$ 是 $A$的逆矩阵，记成$A^{-1}=B$。

定理 2.1 若 $A$ 可逆，则 $A$的逆矩阵唯一。

定理 2.2$A$ 可逆 $\iff$$|A|\ne 0$。

定理 2.3 设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵且 $AB=E$，则 $BA=E$。

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3. $n$ 阶矩阵 $A$可逆的充分必要条件

1. 存在 $n$ 阶矩阵 $B$，使 $AB=E$（或 $BA=E$）
2. $|A|\ne 0$，或秩 $r(A)=n$，或 $A$的列（行）向量线性无关
3. 齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解
4. $\forall b$，非齐次线性方程组$Ax=b$ 总有唯一解
5. 矩阵 $A$的特征值全不为 0

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4. 逆矩阵的运算性质

若 $k\ne 0$, $A$ 可逆，则 $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$。

若 $A,B$ 可逆，则 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$，特别地 $(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$。

若 $A^{\top }$ 可逆，则 $(A^{\top }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\top }$；$(A^{-1}{)}^{-1}=A$；$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$。

注意 即使 $A,B$ 和 $A+B$都可逆，一般地$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$。

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5. 求逆矩阵的方法

方法一 用公式，若 $|A|\ne 0$，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$。

方法二初等变换法。$(A:E)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }(E:A^{-1})$。

方法三 用定义求 $B$，使 $AB=E$ 或 $BA=E$，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=B$。

方法四用分块矩阵。

设 $B,C$都是可逆矩阵，则
$${\left[\begin{array}{cc}B& O\\ & \\ O& C\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ & \\ O& C^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}O& B\\ & \\ C& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& C^{-1}\\ & \\ B^{-1}& O\end{array}\right]$$

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3、向量

3.1线性组合和线性表示

1. 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,...,a_m$，对于任何一组实数$k_1,k_2,k_3,...,k_m$，表达式 $k_1{a}_1+k_2{a}_2+k_3{a}_3+\cdot \cdot \cdot +k_m{a}_m$ 称为向量组 A 的一个线性组合，$k_1,k_2,k_3,...,K_m$称为这个线性组合的系数
2. 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,...,a_m$，向量 $b$，如果存在一组数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_m$，使 $b={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+{\lambda }_3{a}_3+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_m{a}_m$ ，则向量 b 是向量组 A的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示

定理：

• 向量 $b$ 由向量组 $A：a_1,a_2,a_3,...,a_m$矩阵就是表示的充分必要条件$A=(a_1,a_2,a_3,\cdot \cdot \cdot ,a_m)$的秩等于矩阵$B=(a_1,a_2,a_3,...,a_m,b)$ 的秩
• 若 A ，B能互相表示，则称他们是等价的
• 向量组 A 能由向量组 B线性表示的充分必要条件为$R(A)=R(A,B)$，或者$R(A)\le R(B)$，等价的充要条件为 $R(A)=R(B)=R(A,B)$

3.2 线性相关与线性无关

1. 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,...,a_m$，存在不全为零实数$k_1,k_2,k_3,...,k_m$，使 $k_1{a}_1+k_2{a}_2+k_3{a}_3+\cdot \cdot \cdot +k_m{a}_m=0$，则称向量组 A 是线性相关的，否则称他线性无关

简单来说：

1. 线性相关：有非零解
2. 线性无关：只有零解

重要结论：

1. 方阵形式：直接判断行列式的值是否为零，线性相关D为0，线性无关D不为0
2. 行数大于列数的矩阵：判断齐次线性方程组的解，线性相关有非零解，线性无关只有零解
3. 列数大于行数的矩阵：向量个数大于维数，一定线性相关

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• 向量组 $a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性相关：其中就是的充分必要条件至少有一个向量可由其余 m -1 个向量线性表示

• 向量组 $a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余 m -1 个向量线性表示

• 若向量组 $a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性无关，而向量组$a_1,a_2,a_3,...,a_m,b$ 线性相关，则 b 可由$a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性表示，且表达式唯一

注：线性表示和线性相关性是不同的概念

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• 若部分线性相关，则整个向量组也线性相关
• 若整体线性无关，则任意一个部分也线性无关
• 如果n维向量组$a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性无关，则在每一个向量上都添加 m 个分量，得到的n+m 维接长的向量组也线性无关
• 如果n维向量组$a_1,a_2,a_3,...,a_m$线性相关，则在每一个向量上都减去 m 个分量，得到的n-m 维截断的向量组也线性相关

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• 向量组线性无关 ⇔ 秩等于向量个数
• 线性相关 ⇔ 秩小于向量个数

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3.3 向量组的秩

定义：向量组的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩

定理：

• 假设两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价

行向量组与列向量组：

• 行向量组的秩为行秩，列向量组的秩为列秩
• 行秩=列秩=矩阵的秩

3.4 极大无关组

定义：设向量组$A：a_1,a_2,a_3,...,a_m$中有一部分向量组$a_1,a_2,a_3,...,a_r(r<n)$满足

1. $a_1,a_2,a_3,…,a_r $线性无关
2. 向量组 A 中任意$r+1$(如果有 $r+1$个向量的话) ，则称$a_1,a_2,a_3,...,a_r$是向量组 A 的一个极大线性无关组。简称为极大无关组

求向量组极大无关组的技巧：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。(**行最简型矩阵中每行首个非零元素所在的列**)

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3.5 内积

3.5.1 定义与性质

1. 内积定义：对于向量$\mathbf{a}=(a_1,...,a_n)$和$\mathbf{b}=(b_1,...,b_n)$，其内积为：
   $$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

2. 矩阵内积：对于$m\times n$矩阵$A,B$，其内积为：
   $$[A,B]=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}$$

3. 向量长度（范数）：
   $$\Vert \mathbf{a}\Vert =\sqrt{[\mathbf{a},\mathbf{a}]}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$$

4. 单位向量：若$\Vert \mathbf{a}\Vert =1$，则称$\mathbf{a}$为单位向量

5. 施瓦茨不等式：
   $$|[\mathbf{a},\mathbf{b}]|\le \Vert \mathbf{a}\Vert \cdot \Vert \mathbf{b}\Vert$$

3.5.2 重要性质

• 对称性：$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=[\mathbf{b},\mathbf{a}]$
• 线性性：$[k\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c}]=k[\mathbf{a},\mathbf{c}]+[\mathbf{b},\mathbf{c}]$
• 正定性：$[\mathbf{a},\mathbf{a}]\ge 0$，且$[\mathbf{a},\mathbf{a}]=0⟺\mathbf{a}=0$

例题1：计算向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$和$\mathbf{b}=(4,-5,6)$的内积和长度。
解：

1. 内积：
   $$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=1\times 4+2\times (-5)+3\times 6=4-10+18=12$$

2. 长度：
   $$\Vert \mathbf{a}\Vert =\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$$
   $$\Vert \mathbf{b}\Vert =\sqrt{4^2+(-5{)}^2+6^2}=\sqrt{77}$$

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3.6 正交向量组

3.6.1 基本概念

1. 正交定义：若$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=0$，则称向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$正交
2. 正交向量组：由非零向量组成的向量组，其中任意两个不同向量都正交
3. 标准正交基：由单位向量组成的正交向量组

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3.6.2 重要定理

1. 正交向量组的线性无关性：
   任何正交向量组都是线性无关的

2. Gram-Schmidt正交化：
   可将线性无关向量组转化为正交向量组：

   • ${\mathbf{b}}_1={\mathbf{a}}_1$
   • ${\mathbf{b}}_2={\mathbf{a}}_2-\frac{[{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1]}{[{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1]}{\mathbf{b}}_1$
   • ${\mathbf{b}}_3={\mathbf{a}}_3-\frac{[{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_1]}{[{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1]}{\mathbf{b}}_1-\frac{[{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_2]}{[{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2]}{\mathbf{b}}_2$
   • …

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例题2：验证向量组${\mathbf{a}}_1=(1,1,1)$，${\mathbf{a}}_2=(1,-1,0)$，${\mathbf{a}}_3=(1,1,-2)$是否正交。

解：
计算各对内积：

1. $[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2]=1\times 1+1\times (-1)+1\times 0=0$
2. $[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_3]=1\times 1+1\times 1+1\times (-2)=0$
3. $[{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3]=1\times 1+(-1)\times 1+0\times (-2)=0$
   因此该向量组是正交向量组。

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例题3：将线性无关向量组${\mathbf{a}}_1=(1,1,0)$，${\mathbf{a}}_2=(1,0,1)$，${\mathbf{a}}_3=(0,1,1)$正交化。

解：
使用Gram-Schmidt正交化：

1. ${\mathbf{b}}_1={\mathbf{a}}_1=(1,1,0)$
2. ${\mathbf{b}}_2={\mathbf{a}}_2-\frac{[{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1]}{[{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1]}{\mathbf{b}}_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$
3. ${\mathbf{b}}_3={\mathbf{a}}_3-\frac{[{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_1]}{[{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1]}{\mathbf{b}}_1-\frac{[{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_2]}{[{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2]}{\mathbf{b}}_2=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)-\frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

最终得到正交向量组：${\mathbf{b}}_1=(1,1,0)$，${\mathbf{b}}_2=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$，${\mathbf{b}}_3=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

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4、线性方程组

4.1 非齐次

• 线性方程组 $A_{mn}$ * $x$=b 有解的 充要条件 是 r(A，b)= r(A)
• 当线性方程组$A_{mn}\ast x$=b 有解时：r 为秩，n为系数项数，即未知量的个数(列向量个数)
  • 若 r(A，b)= r(A)=r = n，方程组有唯一解
  • 若 r(A，b)= r(A)=r < n，方 程组有无穷多解
• 同理， $A_{mn}\ast x$=b 无解的充要条件是$r(A，b)!=r(A)$

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4.2 齐次线性方程组解的判定

齐次线性方程组一定满足：$r(A,b)$=$r(A)$

• 齐次线性方程组$A_{mn}\ast x=0$只有零解的充要条件是 r(A)= n
• 齐次线性方程组$A_{mn}\ast x=0$有非零解的充要条件是 r(A)< n（有非零解即为无穷多解）

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4.3齐次线性方程组的解的结构

解向量的概念

若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出该向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

• 定理1：假设齐次线性方程组$A_{mn}\ast x=0$的系数矩阵A的秩$r(A)=r<n$，则$A_{mn}\ast x=0$的基础解系中有$n-r$ 个解向量

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4.4非齐次线性方程组的解的结构

非齐次线性方程组的解的结构为：非齐次线性方程组的特解 + 齐次线性方程组的通解。

求线性方程组通解的一般步骤

齐次线性方程组：

1. 对于增广矩阵化简为行最简型矩阵

2. 判断解的情况并且得到解向量的个数 = n-r

3. 通过行最简矩阵得到自由未知量，首非零元与自由未知量确定方程，求方程解，得到各个未知量的解，并且得到每一个基础解系

4. 通解为 各个基础解系的k倍和

非齐次线性方程组：

1. 步骤与上面基本一致，但通解为：特解 + 导出组（导出组指的是常数项为0）的基础解系

5. 特征值和特征向量

5.1 基本概念与定理

定义: 设$A$是$n$阶方阵，若存在数$\lambda$和非零向量$\alpha$使得： $A\alpha =\lambda \alpha$， 则称$\lambda$为$A$的特征值，$\alpha$为对应$\lambda$的特征向量。

• 带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；

• 它的行列式称为A的特征多项式；

• $|\lambda E-A|$=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

• n阶实方阵的特征值就是它的特征方程的n个根
• 任意取定一个特征值，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组（rE-A）x=0 的所有非零解

例题1：求特征值和特征向量
求矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$的特征值和特征向量。

解：

1. 特征方程：

$$\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 1\\ & \\ 1& 3-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-1=0$$

解得：${\lambda }_1=2$，${\lambda }_2=4$

2. 求特征向量：

• 对${\lambda }_1=2$：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ & \\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \\ x_2\end{array}\right]=0\Rightarrow {\alpha }_1=k\left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\end{array}\right]$$

• 对${\lambda }_2=4$：

$$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ & \\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \\ x_2\end{array}\right]=0\Rightarrow {\alpha }_2=k\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\end{array}\right]$$

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5.2 矩阵对角化

对角化条件

1. $A$有$n$个线性无关特征向量
2. $A$的每个特征值的几何重数等于代数重数

例题： 将$A=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ & \\ -1& 2\end{array}\right]$对角化。

解：

1. 特征值：${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=3$
2. 特征向量：
   • ${\lambda }_1=1$对应${\alpha }_1=(1,1{)}^T$
   • ${\lambda }_2=3$对应${\alpha }_2=(-1,1{)}^T$
3. 构造矩阵：

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ & \\ 1& 1\end{array}\right],P^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ & \\ -1& 1\end{array}\right]$$

4. 对角化结果：

$$A=P\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ & \\ 0& 3\end{array}\right]P^{-1}$$

5.3 特征值与特征向量的若干结论

1. 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。

2. 三角矩阵的特征值：
   上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。

3. 特征向量的唯一性：
   一个向量 p不可能是同一个方阵A的不同特征值的特征向量。

4. 方阵与其转置的特征值关系：
   n阶方阵和它的转置具有相同的特征值。

5. 特征值与矩阵的关系：
   设 r₁, r₂, …, rₙ 为方阵 A的全体特征值，则必有：

   • 特征值之和等于对角线元素之和（迹）：

     ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=\text{tr}(A)$

   • 特征值之积等于行列式的值：
     ${\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$

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6、二次型

$n$元二次齐次函数：
$$f(x_1,...,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j(a_{ij}=a_{ji})$$
矩阵形式：$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$

• A(对称矩阵)称为二次型f的矩阵，对称阵A的秩为二次型f的秩
• 二次型与对称阵具有一一对应的关系，一个二次型 f 由其对应的实对称矩阵 A 唯一确定。当给定了二次型 f 后，便许可确定其对应的实对称矩阵 A
  • A 的对角线元素为：$a_{ii}$为$x_i^2$项的系数
  • A 的其他元素为：$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_{ij}$ 项的系数的 $2^{-1}$

例题3：化二次型为标准形
化二次型$f=2x_1^2+3x_2^2+4x_1{x}_2$为标准形。

解法1（配方法）：
$$\begin{array}{rl}f& =2x_1^2+4x_1{x}_2+3x_2^2\\ & \\ & =2(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2)+x_2^2\\ & \\ & =2(x_1+x_2{)}^2+x_2^2\end{array}$$
令$y_1=x_1+x_2$，$y_2=x_2$，则$f=2y_1^2+y_2^2$

解法2（正交变换法）：

1. 写出矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ & \\ 2& 3\end{array}\right]$
2. 求特征值：${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=4$
3. 标准形：$f=y_1^2+4y_2^2$

6.1 标准型

定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型

正交变换法化二次型为标准型的方法：

1. 写出二次型的矩阵A，求其特征值
2. 求出特征值对应的特征向量，并且将他们正交单位化
3. 将正交单位化后的特征向量依次作为列向量构成正交矩阵 P。
4. 做正交变换 $x=Py$，得二次型的标准型

正交单位化的时候：

1. 倘若对应不同的特征值，所以他们正交，直接单位化即可
2. 如果对应相同的特征值，所以要首先正交化，然后再单位化

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6.2 合同

对于两个矩阵A和B，假如存在可逆矩阵C，使得$C^{T}AC=B$，就称A合同（或相合）于B，记作A≃B，也是一种等价关系。因此能够称A和B是合同矩阵。