详细介绍：四阶泛函的驻点方程及给定边界条件下的自然边界条件

题目

问题 17：写出泛函
$$\Phi (u)={\int }_0^1\left((u^{\prime \prime }{)}^2-2(u^{\prime }{)}^2+u^2\right)dx+2u(1)$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中满足边界条件
$$u(0)=-u(1),u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1).$$

解答

泛函 $$\Phi (u)$$的驻点满足欧拉-拉格朗日方程和自然边界条件。先，借助变分法推导欧拉-拉格朗日方程，继而利用给定的边界条件和变分边界条件得到完整边界条件。

欧拉-拉格朗日方程

泛函中的被积函数为$$F=(u^{\prime \prime }{)}^2-2(u^{\prime }{)}^2+u^2$$，对应的欧拉-拉格朗日方程（对于四阶导数）为：
$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u^{\prime }}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\partial F}{\partial u^{\prime \prime }}=0$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u}=2u,\frac{\partial F}{\partial u^{\prime }}=-4u^{\prime },\frac{\partial F}{\partial u^{\prime \prime }}=2u^{\prime \prime }$$
代入方程：
$$2u-\frac{d}{dx}(-4u^{\prime })+\frac{d^2}{d{x}^2}(2u^{\prime \prime })=0$$
简化：
$$2u+4u^{\prime \prime }+2u^{\prime \prime \prime \prime }=0$$
即：
$$u^{\prime \prime \prime \prime }+2u^{\prime \prime }+u=0$$
因此，驻点满足的微分方程为：
$$u^{\prime \prime \prime \prime }(x)+2u^{\prime \prime }(x)+u(x)=0$$

边界条件

给定的边界条件为：
$$u(0)=-u(1),u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)$$
通过变分法，推导自然边界条件。变分$$\delta \Phi =0$$导出的边界条件为：
$$u^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(1)$$
和
$$u^{\prime \prime \prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(1)+4u^{\prime }(1)-1=0$$
（由于 $$u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)$$，上式中的 $$u^{\prime }(1)$$ 可以替换为 $$u^{\prime }(0)$$，但保持原形式）。

因此，完整的边界条件为：
$$\begin{array}{rl}& u(0)=-u(1)\\ & u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)\\ & u^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(1)\\ & u^{\prime \prime \prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(1)+4u^{\prime }(1)-1=0\end{array}$$

总结

驻点满足的方程和边界条件如下：

• 方程： $$u^{\prime \prime \prime \prime }(x)+2u^{\prime \prime }(x)+u(x)=0$$
• 边界条件：
  $$\{\begin{array}{l}u(0)=-u(1)\\ u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)\\ u^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(1)\\ u^{\prime \prime \prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(1)+4u^{\prime }(1)-1=0\end{array}$$

此挑战不要求求解微分方程，只需写出方程和边界条件即可。