字符串算法

哈希

所谓串哈希，就是通过一系列方法把一个字符串转成一个数字，方法类似进制转换，我们把这个数字称为哈希值，比如说字符串 \(s\)，我们设 \(H(s)\) 就是它的哈希值，那么 \(H(s)=\sum_{i=0}^{|s|-1}s[i]\) 就是一个非常基本的哈希。

哈希冲突

所谓哈希冲突就是表示不同的字符串得到了相同的哈希值，这样就会是答案错误。所以为了避免哈希冲突，我们一般都会有一个 \(base\)，表示一个进制，它一般都会是质数，且比较大，那么我们就需要使用进制转换的方法来求哈希值，\(H(s)=\sum_{i=0}^{|s|}s[i] \times base^i\)。

但是普通的 \(int\) 的范围只有那么大，也就是 \(-2^{31}\)至\(2^{31}-1\)，如果需要防止出现负数肯定就是需要一个 \(mod\) 的，但是如果取模就会增加我们的时间复杂度，毕竟取模并不是 \(O(1)\) 的，这是后我们可以在这 \(int\) 的前面加一个 \(unsigned\)，我们知道 \(unsigned\ int\) 的存储范围是 \(0\)至\(2^{32}-1\)，这样就会自动取模，并且这系统自带的取模还是不需要时间的。

改成代码就是:

ull check(string s,int base){
	ull ans=0;
	for(auto i:s)ans=ans*base+i;
	return ans;
}

但是这样子写哈希，很容易就会放生哈希冲突，而解决哈希冲突的办法很简单，就是使用两个哈希，我们称之为双哈希，顾名思义，就是用两个不同的 \(base\)。

我们知道，判断字符串 \(s_1==s_2\) 的时间复杂度是 \(O(size)\)
但是两个数字 \(s_1==s_2\) 的时间复杂的却是 \(O(1)\)。
所以运用字符串哈希就可以帮助我们减少字符串比较的时间。

hash 数组

我们发现，如果每一个子串都重新计算 \(hash\) 值，是需要计算 $\frac{n^2}{2} $ 个，而我们发现，这个 hash 值其实类似一个前缀和，所以我们对于每一位记下当前的 hash 值(记为 sh数组) ，则可以得到区间 \([l,r]\) 的hash 值就是 \(hs_r-hs_l \times pw_{r-l+1}\)。

可以优化很多空间。