P3997 [SHOI2013] 扇形面积并

废话

感觉并没有紫题难度，比较简单。不过在拆分询问的时候有些麻烦。

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P3997 [SHOI2013] 扇形面积并

题意过于简单，这里就不简化了。

题解

首先根据题意，我们先将题目中给定的图给拆分成 \(2 \times m\) 个区域

（借用了一下这篇 文章 的图片）。

然后我们可以将这拆分下来变成一个 \(1 \times 2m\) 的矩阵，红色矩阵覆盖 \([4,13]\)，绿色矩阵覆盖 \([6,15]\)。

然后思考如何求解答案，类似与这类区间覆盖问题，我第一个想到的就是扫描线，我们将一个询问拆成插入和删除两个操作，在 \(a\) 处插入一个半径为 \(r\) 的扇形，在 \(b\) 处将其删除。然后依次枚举每个下标，先处理一下这里的操作，然后至少被 \(k\) 个扇形覆盖，我们则找到第 \(k\) 大的半径，它以内的体积都是可以被覆盖到的。为了求解第 \(k\) 大，我们可以使用线段树二分、平衡树等算法，这里我使用线段树二分，因为 \(r\) 只有 \(10^5\)，不需要使用动态开点。

一些实现上的细节

首先就是 \(a,b\) 会小于 \(0\)，需要加一个偏移量。

其次，题目并没有保证 \(a,b\) 的大小关系，所以这里需要分类讨论建边，如果 \(a>b\) 说明这个环绕了一圈，所以我们需要拆分成 \(4\) 个操作，具体的看代码，还有就是 \(a=b\) 的情况，那么这就是一个圆，也要特殊处理。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls id<<1
#define rs ls|1
using namespace std;
const int N=1000005,inf=100000;
int n,m,k;
int t[N<<2];
vector<int>q[N<<1];
int Get(int x){
    return abs(x)/x;
}
void pushup(int id){
    t[id]=t[ls]+t[rs];
    return;
}
void update(int l,int r,int id,int x,int y){
    if(l==r){t[id]+=y;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid)update(l,mid,ls,x,y);
    if(mid<x)update(mid+1,r,rs,x,y);
    pushup(id);
    return;
}
int query(int l,int r,int id,int rnk){
    if(l==r)return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(rnk<=t[ls])return query(l,mid,ls,rnk);
    return query(mid+1,r,rs,rnk-t[ls]);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int r,a,b;cin>>r>>a>>b;
        a+=m;b+=m;
        if(a<b){q[a].push_back(r);q[b].push_back(-r);}
        else if(a==b){q[0].push_back(r);q[2*m].push_back(-r);}
        else{
            q[0].push_back(r);q[b].push_back(-r);
            q[a].push_back(r);q[2*m].push_back(-r);
        }
    }
    int cnt=0;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=2*m;i++){
        for(auto j:q[i]){
            cnt+=Get(j);
            update(1,inf,1,abs(j),Get(j));
        }
        if(cnt<k)continue;
        int s=query(1,inf,1,cnt-k+1);
        ans+=s*s;
    }
    cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}