作题总结

20260607

P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

\(Catalan\) 数的模板题，可以根据地推公式：\(C_i=C_{i-1} \cdot \frac{4 \cdot i - 2}{i+1}\)求解。

P1641 [SCOI2010] 生成字符串

同样是 \(Catalan\) 数的模板题，直接使用直接计算公式求解：\(C_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1}\)。

P3846 【模板】BSGS / [TJOI2007] 可爱的质数

根号类算法思想。

令 \(t=ceil(sqrt(p))\)，用 \(t\) 表示 \(x\) 则 \(x=At+B\),那么：

\[a^x=a^{At-B} \equiv b\pmod p \\ a^{At} \equiv b \cdot a^B \pmod p \]

考虑枚举 \(B\)，范围 \([0,t-1]\)，将所有 \(x \cdot a^B\) 使用 \(hash\) 表存储，此步骤时间 \(O(t)\)，再考虑枚举 \(A\)，范围 \([1,t]\) 也即计算 \(A\) 个 \(a^t\) 的值，若出现 \(val\) 在 \(hash\) 表中出现过，说明找到了对应的 \(A\) 和 \(B\)，则 \(x=At-B\) 即为答案。

P2312 [NOIP 2014 提高组] 解方程

显然，我们应该枚举一下 \(m\)，但是肯定会超出范围，我们令 $$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^{2+\cdots+a_nx}n$$ 因为 \(f(x)=0\) 所以 \(f(x)\%p=0\) 我们令这个 \(p\) 为一个极大的质数，就有很大概率可以通过这道题了，非常玄学。

P1052 [NOIP 2005 提高组] 过河

首先来向 \(30\%\) 的数据点，令 \(dp_i\) 为走到 \(i\) 所需要踩的最小石子数，则使用一个 \(O(T)\) 的时间复杂度转移就好了。然后就是 \(100\%\) 的数据，如果可以减少这个范围就行了，因为 \(S,T\) 都小于10，则可以轻易发现如果两个石子足够大，则我们直接将其缩短为 \(1000\)，这是没有任何区别的，除非 \(S=T\) 所以我们特判一下就行，那么最大的距离就是 \(10^5\) 了。

P4195 【模板】扩展 BSGS / exBSGS

在这里面 \(a,p\) 不互质，我们需要将同余方程和不定方程来回转换：

\[\begin{aligned} a^x &\equiv b \pmod p \\ a \cdot a^x-1 &\equiv b \pmod p \end{aligned} \]

使用裴蜀定理判断无解。设 \(d\) 是 \(gcd(a,p)\)

\[\begin{aligned} \frac{a}{d} \cdot a^{x-1} + \frac{p}{d} \cdot y &= \frac{b}{d} \\ \frac{a}{d} \cdot a^{x-1} &\equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{p}{d}} \\ a^{x-1} &\equiv \frac{b}{d} \cdot (\frac{a}{d})^{-1} \pmod{\frac{p}{d}} \\ \end{aligned} \]

到这里如果 \(gcd(a,\frac{p}{d})=1\)，就可以跑 BSGS，如果不满足，就接着跑 exBSGS。但是算出来的答案需要 \(+1\)

P2106 Sam 数

考虑一个简单的 \(DP\)，令 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 位数，以 \(j\) 结尾的 \(sam\) 数有多少个。由于 \(k\le 10^{18}\) 所以我们使用一个矩阵加速一下即可。

P3376 【模板】网络最大流

网络流模板。

P4568 [JLOI2011] 飞行路线

我们可以考虑一个分层图最短路，建立 \(k\) 层，第 \(i\) 层则表示使用了 \(i\) 次免费路径，所以对于每条输入的边分别建两天不同的边，一条向 \(i\) 层，一条向 \(i+1\) 层。然后跑最短路就行了。

P3957 [NOIP 2017 普及组] 跳房子

首先发现如果一个灵活之 \(g\) 满足条件则 \(g+1\) 也一定满足条件，也就是具有单调性，所以我们可以二分答案。然后用一个优先队列优化 \(DP\) 就行了。

P4302 [SCOI2003] 字符串折叠

注意到 \(n \le 100\)，所以可以考虑区间 \(DP\)，那么我们令 \(dp_{i,j}\) 表示将区间 \(i,j\) 合并成的最小长度。每次寻找一个中专点 \(k\)，令 \(get\)_\(minn(l,r)\) 表示将 \(l,r\) 只折叠一次能得到的最小长度。那么转移方程为：\(min(get\_minn(l,k),dp_{i,k})+min(get\_minn(k+1,j),dp_{k+1,j})\)。最后答案输出 \(dp_{1,n}\)。

P3761 [TJOI2017] 城市

发现 \(n \le 5000\)，则边数也不多，所以我们可以枚举拆掉的边。假设这边连接了点 \(x\) 与 \(y\)，两个连通块为 \(i\) 与 \(j\)。那么重新连接后的最长路径就只可能是 \(i\) 的直径，\(j\) 的直径，\(i\) 的半径+\(j\) 的半径+\(x,y\) 之间的长度，则直接用树形 \(DP\) 取求就行了。

P5505 [JSOI2011] 分特产

我们考虑求一个数组 \(g\)，\(g_i\) 表示恰好有 \(i\) 个人没有礼物的情况，则 \(g_0\) 为我们所需的答案，遇到这种情况，我们一般都先简化问题，然后使用容斥原理求解答案。所以我们令 \(f_i\) 表示至少有 \(i\) 个人没有礼物的情况。则 \(ans={\textstyle \sum_{i=0}^{n-1}} {\textstyle \prod_{j=1}^{m}} C_{a_j+n-i-1}^{n-i-1} \times C_n^i \times (-1)^i \% mod\)