斐波那契数列 改1 3*N 骨牌覆盖 改1 hiho一下 第四十二周 递归不行 矩阵加速

 

题目1 : 骨牌覆盖问题·二

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描述

上一周我们研究了2xN的骨牌问题，这一周我们不妨加大一下难度，研究一下3xN的骨牌问题？
所以我们的题目是：对于3xN的棋盘，使用1x2的骨牌去覆盖一共有多少种不同的覆盖方法呢？
首先我们可以肯定，奇数长度一定是没有办法覆盖的；对于偶数长度，比如2，4，我们有下面几种覆盖方式：

 

提示：3xN骨牌覆盖

输入

第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 12357

样例输入

62247088

样例输出

4037

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define modnum 12357
typedef vector<long long> matrow;
typedef vector<matrow> mat;
mat build(long long x,long long y,long long a[])
{
    mat ans;
    for(long long i=0;i<x;i++)
    {
        ans.push_back(matrow());
        for(long long j=0;j<y;j++)
        {
            ans[i].push_back(a[i*y+j]);
        }
    }
    return ans;
}
mat multi(const mat mat1,const mat mat2)
{
    long long temp=0;
    long long rownum=mat1.size();
    long long colnum=mat2[0].size();
    long long nummul=mat1[0].size();
    mat ans;
    for(long long i=0;i<rownum;i++)
    {
        ans.push_back(matrow());
        for(long long j=0;j<colnum;j++)
        {
            temp=0;
            for(long long t=0;t<nummul;t++)
                temp+=mat1[i][t]*mat2[t][j];
            ans[i].push_back(temp%modnum);
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    long long N;
    long long a[]={3,1,2,1};
    long long b[]={3,2};
    cin>>N;
	if(N%2==1){ cout<<0<<endl; return 0; }
    mat ans=build(2,1,b);
    mat temp=build(2,2,a);
    long long n=N/2-1;
    if(n==0)cout<<3<<endl;
    if(n==1)cout<<11<<endl;
    if(n!=1&&n!=0)
    {
		while(n)
		{
			if(n&1==1)
				ans=multi(temp,ans);
			temp=multi(temp,temp);
			n=n>>1;
		}
	}
	cout<<ans[0][0]<<endl;
    return 0;
}

　　

这一期的问题和上一期的一样，也是使用矩阵乘法加速，

用X_n表示N的排列总数

用T_n表示N的特殊排列总数（特殊排列：最后一列有竖直骨牌如：n=2时 第二第三个骨牌。 n=4时2 4 6 7 8 10 11）

N+2的排列总数 = “N的排列总数 拼接上n=2时的排列” + “N的特殊排列  拼接上n=2时第一个骨牌  并进行微调”

( “N的特殊排列  接上n=2时第一个骨牌  并进行微调” 参见n=4时 4和8 ，通过n=4时 9和5调整获得 )

X_n+2=X_n*3+T_n

 

N+2的特殊排列=“N的排列总数，拼接上n=2时 2 3 骨牌”+ “N的特殊排列 ，拼接上n=2时第一个骨牌 并进行微调”

T_n+2=X_n*2+T_n

用矩阵表示：

|X_{n+2m|    =   |3   1|    ^m-1    |3|}

|T_{n+2m|          |2   1|                 |2|}