dp之背包问题的学习

我学习背包问题主要分为01背包、完全背包、多重背包、树上背包、有依赖性的背包。

一、01背包问题：原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/2/

题目描述：

有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。第i件物品的体积是vi，价值是wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入：

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有N行，每行两个整数vi，wi，用空格隔开，分别表示i件物品的体积和价值。价。

输出：

输出一个整数，表示最大价值。

思路：
动态规划的问题最核心的是找到状态转移方程，这个题目特点是物品只有一个，故物品状态只有拿或者不拿两种状态。朴素做法是我们可以开一个二位数组用来记录我们背包拿物品的状态。

即状态转移方程为f[i][j] = max(f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]]+w[i])。f[i-1][j]为不拿该物品，故当前背包的总价值与前一个状态下背包的总价值相同；f[i-1][j-v[i]]+w[i]为该背包拿该个物品，故当前价值为前一个状态下剩余背包量减去该个物品的体积，并且以前一个状态的价值加上所拿的物品价值。

朴素做法代码：

优化：

因为我们二维数组是将每一种情况都储存，又根据此题每一种状态都只与前一种状态有关，而我们取最大价值取最后一位，前面的状态无需储存。如果求最优方案数除外。

一维数组做法：